Determinar a solução particular das Equações diferenciais lineares de 2^a Ordem a Coeficientes Constantes Homogêneas (equação Característica), dadas a seguir, pelo método proposto para resolver este tipo de equações.
d^2 yd x^2-2 d yd x+y=0 para y(0)=0 e d yd x(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem a coeficientes constantes
d^2ydx^2 - 2dydx + y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e tfracdydx(0)=3. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução particular que satisfaz essas condições.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^rx:
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0
vemos que há raiz dupla r=1 de multiplicidade 2. Para uma raiz dupla, a solução geral do homogêneo é dada por
y(x) = C1e^r x + C2,x,e^r x,
aqui com r=1.

Passo 4

Substituindo r=1 na forma geral, obtemos
y(x) = C1e^x + C2,x,e^x

Passo 5

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = C1e^x + C2e^x + C2x,e^x = l(C1+C2+C2xr)e^x
Em x=0:
y(0)=C1cdot1 + C2cdot0 = C1 = 0,
y'(0) = (C1+C2)cdot1 = C2 = 3

Passo 6

Substituindo C1=0 e C2=3 na solução geral, vem
y(x) = 3,x,e^x

Resposta

y(x) = 3x,e^x

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