Questão 5 (2,0 pontos) Esboce o gráfico da função:
f(x)=1x^2-1(x-2)^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=1x^2-1(x-2)^2
Conteúdo: estudo de função racional para identificar domínio, assíntotas, limites laterais, zeros, monotonia e sinal, e com isso traçar o esboço.

Passo 2

Determinar domínio e assíntotas verticais e horizontais.
Como x=0 e x=2 anulam denominadores, o domínio é
xinRmid xneq0,;xneq2
Há assíntotas verticais em x=0 e x=2. Para xtopminfty,
f(x)=1x^2-1(x-2)^2to0,
logo y=0 é assíntota horizontal.
Limites nas verticais:
limxto0^pmf(x)=+infty, limxto2^pmf(x)= -infty

Passo 3

Encontrar zeros e sinal de f.
Resolver f(x)=0:
1x^2=1(x-2)^2 ;Longrightarrow;(x-2)^2=x^2 ;Longrightarrow;x=1
Tabela de sinal em cada intervalo:
para x<0, f(x)>0;
entre 0 e 2, muda de +infty em 0^+ até -infty em 2^-, cruzando em x=1 de positivo para negativo;
para x>2, f(x)<0.

Passo 4

Estudar monotonia via derivada.
f'(x) = -2x^-3 + 2(x-2)^-3 = 2x^3 - (x-2)^3x^3 (x-2)^3 = 12x^2 - 2x + tfrac43x^3 (x-2)^3
O numerador é sempre positivo, logo o sinal de f' coincide com o de x^3 (x-2)^3.
  • Para x < 0 ou x > 2, x^3 (x-2)^3 > 0 Rightarrow f' > 0 (função crescente).
  • Para 0 < x < 2, x^3 (x-2)^3 < 0 Rightarrow f' < 0 (função decrescente).

Passo 5

Resumo do esboço:
  • Assíntotas verticais em x=0 e x=2, horizontal em y=0.
  • Em (-infty,0), f cresce de 0 (em -infty) até +infty (em 0^-), sempre positiva.
  • Em (0,2), f decresce de +infty (em 0^+) a -infty (em 2^-), cruzando o eixo em (1,0).
  • Em (2,infty), f cresce de -infty (em 2^+) a 0 (em +infty), sempre negativa.

Resposta

O gráfico de f tem duas assíntotas verticais x=0 e x=2, assíntota horizontal y=0, cresce em (-infty,0) de 0 a +infty, decresce em (0,2) de +infty a -infty passando por (1,0), e cresce em (2,infty) de -infty a 0.

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