Teste a série quanto à convergência ou à divergéncia.
sumn=1^infty n^2 n(1+n)^2 n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty n^2n(1+n)^2n
Aqui o conteúdo é série numérica e o primeiro teste a usar é o teste do termo geral: se os termos não tendem a zero, a série diverge.

Passo 2

Denotemos
an = n^2n(1+n)^2n =l(nn+1r)^2n
Para estudar limntoinftyan, é conveniente analisar
ln an = 2nlnl(nn+1r)
Usando lnl(tfracnn+1r)=lnl(1-tfrac1n+1r)simeq -tfrac1n+1+ol(tfrac1nr), temos

Passo 3

ln an = 2nl(-1n+1+ol(1nr)r) =-2nn+1+o(1)longrightarrow -2
Logo
an = e^ln anlongrightarrow e^-2neq0

Passo 4

Como limntoinftyan = e^-2 não é 0, a série falha no teste do termo geral e, portanto, diverge.

Resposta

A série diverge, pois seus termos não tendem a zero.

Exercícios relacionados