Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=2 x+6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 4y' + 4y = 2x + 6
usando o método dos coeficientes indeterminados. O plano é: primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois chutar uma forma de solução particular compatível com o termo 2x+6.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0
que fatoriza como (r+2)^2=0. Portanto há uma raiz dupla r=-2 e a solução homogênea é
yh = C1 e^-2x + C2,x,e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'' + 4y' + 4y = 2x+6
Como o lado direito é um polinômio de grau 1 e zero não é raiz da característica, tentamos
yp = A x + B
Dessa forma
yp' = A, yp'' = 0,
e o lado esquerdo vira
0 + 4A + 4(Ax + B) = 4A x + (4A + 4B)
Igualando a 2x+6 obtemos o sistema
4A = 2, 4A + 4B = 6
Da primeira equação A=tfrac12. Substituindo na segunda vem
4cdottfrac12 + 4B = 6 Longrightarrow 2 + 4B = 6 Longrightarrow B = 1
Então
yp = tfrac12 x + 1

Passo 4

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = C1 e^-2x + C2,x,e^-2x + tfrac12 x + 1

Resposta

y(x) = C1 e^-2x + C2,x,e^-2x + 12 x + 1

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