Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. O plano é: primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois chutar uma forma de solução particular compatível com o termo
.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos
A equação característica é
que fatoriza como
. Portanto há uma raiz dupla
e a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o lado direito é um polinômio de grau 1 e zero não é raiz da característica, tentamos
Dessa forma
e o lado esquerdo vira
Igualando a
obtemos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda vem
Então
Passo 4
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: