Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-y=1-2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-y=1-2x
e pede para determinar uma solução particular dessa equação.
Informações relevantes: o lado direito é o polinômio \;1-2x\; (grau 1). A equação é linear, de coeficientes constantes, não homogênea. Nada mais é pedido além de uma solução particular.

Passo 2

Escolhendo o método: vou usar o método dos coeficientes indeterminados. Explico por que: quando a parte não homogênea (o termo à direita) é um polinômio, uma exponencial, seno/cosseno ou combinação simples disso, dá-se bem o método dos coeficientes indeterminados — ele consiste em tentar uma forma candidata (ansatz) parecida com o lado direito, com constantes desconhecidas, e ajustar essas constantes substituindo na equação. É geralmente o método mais rápido para este tipo de problema numa prova.

Passo 3

Antes de propor a forma particular, é útil achar a solução da equação homogênea associada, porque às vezes a forma candidata precisa ser modificada se houver “ressonância” com a homogênea. A equação homogênea é
y''-y=0.
Formamos a equação característica associada: r^2-1=0. Resolvendo,
r^2-1=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 1.
Portanto a solução geral da homogênea (com constantes arbitrárias C_1,C_2) é
y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}.
Observação: os termos e^{\pm x} não são polinômios, então não há ressonância entre a solução homogênea e um ansatz polinomial.

Passo 4

Como a parte não homogênea é um polinômio de grau 1, \;1-2x, proponho um ansatz polinomial de grau 1 para a solução particular:
y_p = Ax + B,
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar. Aqui escolhemos exatamente um polinômio do mesmo grau porque não existe ressonância com a solução homogênea.

Passo 5

Calcule as derivadas necessárias do ansatz:
y_p' = A,
y_p'' = 0.
Expliquei: derivada de Ax+B em relação a x é A; segunda derivada é 0 porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 6

Substitua y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial \;y''-y=1-2x\;:
y_p'' - y_p = 1 - 2x.
Com os valores:
0 - (Ax + B) = 1 - 2x.
Logo
-(Ax + B) = 1 - 2x.

Passo 7

Multiplico ambos os lados por -1 para comparar coeficientes com mais facilidade:
Ax + B = -1 + 2x.
Agora igualamos coeficientes dos termos em x e dos termos constantes (método de coeficientes comparados):
  • Coeficiente de x: A = 2.
  • Coeficiente constante: B = -1.

Passo 8

Com os valores determinados, a solução particular encontrada é
y_p = 2x - 1.
Breve comentário amigo: pronto! Essa é a solução particular simples que você poderia usar na prova. Se te pedissem a solução geral, bastaria somar y_h e y_p.

Resposta

y_p = 2x - 1

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