Determinar uma solução particular das seguin. tes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar uma solução particular dessa equação.
Informações relevantes: o lado direito é o polinômio (grau 1). A equação é linear, de coeficientes constantes, não homogênea. Nada mais é pedido além de uma solução particular.
Informações relevantes: o lado direito é o polinômio
Passo 2
Escolhendo o método: vou usar o método dos coeficientes indeterminados. Explico por que: quando a parte não homogênea (o termo à direita) é um polinômio, uma exponencial, seno/cosseno ou combinação simples disso, dá-se bem o método dos coeficientes indeterminados — ele consiste em tentar uma forma candidata (ansatz) parecida com o lado direito, com constantes desconhecidas, e ajustar essas constantes substituindo na equação. É geralmente o método mais rápido para este tipo de problema numa prova.
Passo 3
Antes de propor a forma particular, é útil achar a solução da equação homogênea associada, porque às vezes a forma candidata precisa ser modificada se houver “ressonância” com a homogênea. A equação homogênea é
Formamos a equação característica associada:
. Resolvendo,
Portanto a solução geral da homogênea (com constantes arbitrárias
) é
Observação: os termos
não são polinômios, então não há ressonância entre a solução homogênea e um ansatz polinomial.
Passo 4
Como a parte não homogênea é um polinômio de grau 1,
, proponho um ansatz polinomial de grau 1 para a solução particular:
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. Aqui escolhemos exatamente um polinômio do mesmo grau porque não existe ressonância com a solução homogênea.
Passo 5
Calcule as derivadas necessárias do ansatz:
Expliquei: derivada de
em relação a
é
; segunda derivada é
porque a derivada de uma constante é zero.
Passo 6
Substitua
,
e
na equação diferencial
:
Com os valores:
Logo
Passo 7
Multiplico ambos os lados por
para comparar coeficientes com mais facilidade:
Agora igualamos coeficientes dos termos em
e dos termos constantes (método de coeficientes comparados):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Passo 8
Com os valores determinados, a solução particular encontrada é
Breve comentário amigo: pronto! Essa é a solução particular simples que você poderia usar na prova. Se te pedissem a solução geral, bastaria somar
e
.