Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
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Passo 1
A questão pede a representação integral de Fourier da função f(x)=e^{-a|x|}, conteúdo de transformada de Fourier e fórmula de inversão. Vamos usar a convenção padrão: transformada direta F(ω)=∫_{-∞}{∞}f(x)e{-iωx}dx e inversão f(x)=\frac{1}{2π}\int_{-∞}{∞}F(ω)e{iωx}dω.
Passo 2
Para achar F(ω), dividimos a integral em x<0 e x≥0, pois |x| muda de sinal. Temos
Na primeira parte, integramos
e na segunda:
Somando-as:
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de inversão para escrever f(x) como integral de Fourier: basta substituir F(ω) na expressão de f(x). Assim,