Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=e^-|x|.

Passo 1

A questão pede a representação integral de Fourier da função f(x)=e^{-a|x|}, conteúdo de transformada de Fourier e fórmula de inversão. Vamos usar a convenção padrão: transformada direta F(ω)=∫_{-∞}{∞}f(x)e{-iωx}dx e inversão f(x)=\frac{1}{2π}\int_{-∞}{∞}F(ω)e{iωx}dω.

Passo 2

Para achar F(ω), dividimos a integral em x<0 e x≥0, pois |x| muda de sinal. Temos
F(ω)=integral-∞^0e^a xe^-iωxdx+integral0^∞e^-a xe^-iωxdx
Na primeira parte, integramos
integral-∞^0e^(a - iω)xdx=l[e^(a - iω)xa - iωr]-∞^0=1a - iω,
e na segunda:
integral0^∞e^-(a + iω)xdx=l[ -e^-(a + iω)xa + iωr]0^∞=1a + iω
Somando-as:
F(ω)=1a - iω+1a + iω=(a + iω)+(a - iω)a^2+ω^2=2aa^2+ω^2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de inversão para escrever f(x) como integral de Fourier: basta substituir F(ω) na expressão de f(x). Assim,
f(x)=12πintegral-∞^∞F(ω)e^iωxdω=12πintegral-∞^∞2aa^2+ω^2e^iωxdω

Resposta

f(x)=e^-a|x|=12piintegral-infty^infty2aa^2+omega^2,e^iomega x,domega

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