Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) mais uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com soluções harmônicas. A solução geral da equação homogênea é dada por:
onde
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, nossa solução particular tentará ter a forma de um polinômio multiplicado por
e
. Geralmente, assumimos:
onde
Passo 4
Para encontrar esses coeficientes, vamos derivar
:
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Igualando à parte não homogênea
:
Para que isso seja verdadeiro para todos os valores de
E para os termos de
:
Aqui, vemos que precisamos ajustar nossa suposição inicial, já que
Passo 7
Vamos tentar uma solução particular de forma:
Agora, vamos derivar novamente para encontrar
Passo 8
Após realizar as derivadas e substituir na equação original, iremos igualar os coeficientes dos termos de
,
,
e
para encontrar os valores de
,
,
e
. Após resolver o sistema de equações resultante, encontraremos os valores desses coeficientes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde