Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
integral0^infty 1-cos pi omegaomega sen x omega d omega=clpi / 2 & se 0pi

Passo 1

O enunciado pede para provar que a integral imprópria
I(x)=integral0^infty1-cos(piomega)omega,sin(xomega),domega
vale pi/2 quando 0 e zero quando x>pi. Vamos usar propriedades clássicas de integrais de senos e manipulações trigonométricas, típicas de representação integral de Fourier.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em duas partes:<br> I(x)=integral0^inftysin(xomega)omega,domega;- integral0^inftycos(piomega),sin(xomega)omega,domega =I1(x)-I2(x)

Passo 3

A integral I1(x)=integral0^inftysin(xomega)/omega,domega é clássica. Pela fórmula
integral0^inftysin(aomega)omega,domega=pi2,sgn(a)
segue que, para x>0,

Passo 4

Para I2(x)=integral0^inftycos(piomega),sin(xomega)omega,domega, usamos a identidade
sin(xomega)cos(piomega)=tfrac12l(sin((x+pi)omega)+sin((x-pi)omega)r)
Assim
I2(x)=tfrac12integral0^inftysin((x+pi)omega)omega,domega+tfrac12integral0^inftysin((x-pi)omega)omega,domega.

Passo 5

Aplicando de novo integral0^inftysin(aomega)/omega,domega=tfracpi2sgn(a) obtemos
I2(x)=tfrac12l(tfracpi2sgn(x+pi)+tfracpi2sgn(x-pi)r)
Como x+pi>0 sempre, sgn(x+pi)=1. Já sgn(x-pi)=1 se x>pi e = -1 se 0.

Passo 6

Agora calculamos I(x)=I1(x)-I2(x):<br>— Se 0, então sgn(x-pi)=-1 e
I2(x)=tfrac12l(tfracpi2cdot1+tfracpi2cdot(-1)r)=0,
portanto I(x)=pi/2-0=pi/2.<br>— Se x>pi, então sgn(x-pi)=1 e
I2(x)=tfrac12l(tfracpi2+tfracpi2r)=tfracpi2,
logo I(x)=pi/2-pi/2=0.

Resposta

Para 0 a integral vale pi/2; para x>pi vale 0.

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