Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a integral imprópria
vale
quando
e zero quando
. Vamos usar propriedades clássicas de integrais de senos e manipulações trigonométricas, típicas de representação integral de Fourier.
Passo 2
Primeiro, separamos a integral em duas partes:<br>
Passo 3
A integral
é clássica. Pela fórmula
segue que, para
,
Passo 4
Para
, usamos a identidade
Assim
Passo 5
Aplicando de novo
obtemos
Como
sempre,
. Já
se
e =
se
.
Passo 6
Agora calculamos
:<br>— Se
, então
e
portanto
.<br>— Se
, então
e
logo
.
Resposta
Para
a integral vale
; para
vale
.