Resolva:
y^prime prime+3 y^prime+3=e^x cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
y'' + 3y' + 3 = e^x cos(x)
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos a parte não homogênea a zero:
y'' + 3y' + 3 = 0
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos soluções da forma y = e^rt, onde r é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação homogênea, temos:
r^2 e^rt + 3r e^rt + 3e^rt = 0
Dividindo tudo por e^rt (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
r^2 + 3r + 3 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
r^2 + 3r + 3 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a=1, b=3, e c=3.
r = -3 pm raiz9 - 122 = -3 pm raiz-32 = -3 pm iraiz32

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = e^alpha x (C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x))
Onde alpha = -32 e beta = raiz32.
Então,
yh = e^-32x ( C1 cos(raiz32x) + C2 sin(raiz32x) )

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' + 3y' + 3 = e^x cos(x)
Como o lado direito é e^x cos(x), assumimos uma solução particular da forma:
yp = e^x (A cos(x) + B sin(x))
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
yp' = e^x (A cos(x) + B sin(x)) + e^x (-A sin(x) + B cos(x))
Simplificando:
yp' = e^x ( (A + B) cos(x) + (B - A) sin(x) )
Segunda derivada:
yp'' = e^x ( (A + B) cos(x) + (B - A) sin(x) ) + e^x ( (-A - B) sin(x) + (B - A) cos(x) )
Simplificando:
yp'' = e^x ( (2B) cos(x) + (-2A) sin(x) )

Passo 8

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação original:
yp'' + 3yp' + 3yp = e^x cos(x)
Isso fica:
e^x (2B cos(x) - 2A sin(x)) + 3e^x ( (A + B) cos(x) + (B - A) sin(x) ) + 3e^x (A cos(x) + B sin(x)) = e^x cos(x)

Passo 9

Agrupando os termos de cos(x) e sin(x):
Para cos(x):
2B + 3(A + B) + 3A = (2B + 3B + 3A + 3A) = (5B + 6A)
Para sin(x):
-2A + 3(B - A) + 3B = (-2A - 3A + 3B + 3B) = (-5A + 6B)
Então, temos:
e^x ( (5B + 6A) cos(x) + (-5A + 6B) sin(x) ) = e^x cos(x)

Passo 10

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para cos(x):
5B + 6A = 1
Para sin(x):
-5A + 6B = 0

Passo 11

Resolvemos o sistema de equações:
  1. 5B + 6A = 1
  2. -5A + 6B = 0
Multiplicamos a segunda equação por 5 para eliminar A:
-25A + 30B = 0
Agora, da primeira equação, isolemos A:
6A = 1 - 5B Rightarrow A = 1 - 5B6
Substituímos na equação modificada:
-25(1 - 5B6) + 30B = 0
Multiplicando tudo por 6 para eliminar o denominador:
-25(1 - 5B) + 180B = 0
-25 + 125B + 180B = 0
305B = 25
B = 25305 = 561
Agora, substituindo B na expressão para A:
A = 1 - 5(561)6 = 1 - 25616 = 36616 = 661

Passo 12

Então, a solução particular é:
yp = e^x ( 661 cos(x) + 561 sin(x) )

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp
Então,
y = e^-32x ( C1 cos(raiz32x) + C2 sin(raiz32x) ) + e^x ( 661 cos(x) + 561 sin(x) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^-32x ( C1 cos(raiz32x) + C2 sin(raiz32x) ) + e^x ( 661 cos(x) + 561 sin(x) )
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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