Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos a parte não homogênea a zero:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos soluções da forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
.
Então,
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, assumimos uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Simplificando:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Isso fica:
Passo 9
Agrupando os termos de
e
:
Para
:
Para
:
Então, temos:
Passo 10
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 11
Resolvemos o sistema de equações:
Multiplicamos a segunda equação por
para eliminar
:
Agora, da primeira equação, isolemos
:
Substituímos na equação modificada:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Então,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.