Determinar a solução do problemas de valor inicial: y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 t e^2 t, y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um problema de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente uma equação do segundo grau com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação:
y(t)
com as condições iniciais:
y'' - 2y' - 3y = 3t e^2t
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular da equação completa.
  3. Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 2y' - 3y = 0
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação homogênea:
y = e^rt
Dividindo ambos os lados por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt - 2r e^rt - 3 e^rt = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 - 2r - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, temos duas raízes reais:
r1 = 3 e r2 = -1

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
yp(t)
Como o termo não homogêneo é $ 3t e^{2t} $, vamos supor que a solução particular tem a forma:
y'' - 2y' - 3y = 3t e^2t
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = e^2t(A t + B)' + 2e^2t(A t + B) = e^2tA + 2e^2t(A t + B) = e^2t(2A t + A + 2B)

Passo 8

Substituímos $ y_p, y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp, yp'
Substituindo:
yp''

Passo 9

Simplificamos os termos:
e^2t[4A t + 2A + 4B - 4A t - 2A - 4B - 3A t - 3B] = 3t e^2t
e^2t(-3A t - 3B) = 3t e^2t
Podemos cancelar $ e^{2t} $ dos dois lados:
e^2t

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ t $:
t
Para o termo constante:
-3A = 3 Rightarrow A = -1

Passo 11

Assim, a solução particular é:
yp(t) = e^2t(-1 t + 0) = -t e^2t

Passo 12

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - t e^2t

Passo 13

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
Então:
C2 çã

Passo 14

Agora, calculamos a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Para $ t = 0 $:
y'(t) = 3C1 e^3t - C2 e^-t - e^2t - 2t e^2t
Então:
t = 0 çã

Passo 15

Resolvemos o sistema de equações:
C1 + C2 = 1 3C1 - C2 = 1
Somando as duas equações:
4C1 = 2 Rightarrow C1 = 24 = 12
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
C1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 12 e^3t + 12 e^-t - t e^2t

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