Determinar a solução do problemas de valor inicial:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um problema de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente uma equação do segundo grau com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Nosso objetivo é encontrar a função $ y(t) $ que satisfaz a equação:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular da equação completa.
- Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é $ 3t e^{2t} $, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 8
Substituímos $ y_p, y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Substituindo:
Passo 9
Simplificamos os termos:
Podemos cancelar $ e^{2t} $ dos dois lados:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ t $:
Para o termo constante:
Passo 11
Assim, a solução particular é:
Passo 12
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 13
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
Então:
Passo 14
Agora, calculamos a derivada de $ y(t) $:
Para $ t = 0 $:
Então:
Passo 15
Resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: