Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dados.
& 6 x^prime=(rr -4 & 2 2 & -1 ) x+binomt^-12 t^-1+4, t>0

Passo 1

O sistema dado é não-homogêneo de primeira ordem com coeficientes constantes: x'=Ax+f(t), onde
A=-4&22&-1, f(t)=binomt^-12t^-1+4, t>0
Para resolver precisamos da solução geral homogênea e de uma solução particular via variação de constantes.

Passo 2

Encontrar autovalores de A resolvendo
det(A-lambda I)=det-4-lambda&22&-1-lambda=(-4-lambda)(-1-lambda)-4=0
que leva a lambda(lambda+5)=0. Logo os autovalores são lambda1=0 e lambda2=-5.

Passo 3

Para cada autovalor achamos os autovetores:
Para lambda1=0:
Av1v2=0 Rightarrow -4v1+2v2=0, 2v1-v2=0 Rightarrow v^(1)=12
Para lambda2=-5:
(A+5I)v=0 Rightarrow 1&22&4v1v2=0 Rightarrow v^(2)=-21

Passo 4

A solução homogênea é
xh(t)=C112+C2e^-5t-21, C1,C2in R

Passo 5

Montamos a matriz fundamental X(t)=[v^(1)e^0t,,v^(2)e^-5t]:
X(t)=1&-2e^-5t2&e^-5t, X^-1(t)=15e^-5te^-5t&2e^-5t-2&1 =1/5&2/5-2/(5e^-5t)&1/(5e^-5t)

Passo 6

Calculamos X^-1(t)f(t):
X^-1f=1/5&2/5-2/(5e^-5t)&1/(5e^-5t)binomt^-12t^-1+4 =binomt^-1+8/54/(5e^-5t)

Passo 7

Integramos componente a componente:
integral(t^-1+8/5)dt=ln t+tfrac85t, integral45e^5tdt=425e^5t
Logo um antiderivado é
.

Passo 8

A solução particular pela variação de constantes é
xp(t)=X(t),W(t)=1&-2e^-5t2&e^-5tbinomln t+tfrac85ttfrac425e^5t =binomln t+tfrac85t-tfrac8252ln t+tfrac165t+tfrac425

Passo 9

A solução geral é a soma de homogênea e particular:
x(t)=C112+C2e^-5t-21+binomln t+tfrac85t-tfrac8252ln t+tfrac165t+tfrac425

Resposta

x(t)=C1-2C2e^-5t+ln t+tfrac85t-tfrac825[6pt]2C1+C2e^-5t+2ln t+tfrac165t+tfrac425, C1,C2in R

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