Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{y}-(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{3}}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,\frac{dy}{dx}-y-(y-x)^{3}=0
e pede que a gente encontre a família de soluções usando uma substituição adequada. Aqui o conteúdo principal é transformar essa equação numa forma separável, e para isso vamos usar a substituição clássica para equações homogêneas: definir
u=\frac{y}{x}.

Passo 2

Com y=ux, o derivado é
\frac{dy}{dx}=u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação original:
x\bigl(u + x\,\tfrac{du}{dx}\bigr)-ux -\bigl(ux - x\bigr)^{3}=0
o que simplifica pois x\,u - ux=0. Sobram
x^{2}\,\frac{du}{dx} - \bigl(x(u-1)\bigr)^{3}=0.
Como \bigl(x(u-1)\bigr)^{3}=x^{3}(u-1)^{3}, obtemos
x^{2}\,\frac{du}{dx}=x^{3}(u-1)^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx}=x\,(u-1)^{3}.

Passo 3

Agora é só separar variáveis:
\frac{du}{(u-1)^{3}}=x\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int (u-1)^{-3}\,du = \int x\,dx \;\Longrightarrow\; -\tfrac{1}{2}(u-1)^{-2} = \tfrac{x^{2}}{2} + C.
Multiplicando por -2 e chamando -2C de C_{1}, fica
(u-1)^{-2} = -x^{2} + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(u-1)^{2}} = C_{1} - x^{2}.

Passo 4

Voltando a u=y/x, temos
\frac{1}{\bigl(\tfrac{y}{x}-1\bigr)^{2}} = C_{1} - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\tfrac{y-x}{x}\bigr)^{2} = \frac{1}{C_{1}-x^{2}}
e portanto
(y-x)^{2} = \frac{x^{2}}{\,C_{1}-x^{2}\,}.
Tomando a raiz quadrada (e lembrando o sinal \pm), obtemos a solução geral em forma explícita:
y = x \pm \frac{x}{\sqrt{\,C_{1}-x^{2}\,}}.
Além disso, há a solução singular y=x, que corresponde ao caso (u-1)^{-2}\to\infty.

Resposta

A família de soluções é
y = x \pm \frac{x}{\sqrt{\,C - x^{2}\,}},
onde C é constante arbitrária, mais a solução singular
y = x.

Exercícios relacionados