Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede que a gente encontre a família de soluções usando uma substituição adequada. Aqui o conteúdo principal é transformar essa equação numa forma separável, e para isso vamos usar a substituição clássica para equações homogêneas: definir
Passo 2
Com
, o derivado é
Substituindo na equação original:
o que simplifica pois
. Sobram
Como
, obtemos
Passo 3
Agora é só separar variáveis:
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por
e chamando
de
, fica
Passo 4
Voltando a
, temos
e portanto
Tomando a raiz quadrada (e lembrando o sinal
), obtemos a solução geral em forma explícita:
Além disso, há a solução singular
, que corresponde ao caso
.
Resposta
A família de soluções é
onde
é constante arbitrária, mais a solução singular