Determine um fator integrante e resolva as equações diferenciais dadas.
-\boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}+\left(\frac{\boldsymbol{x}^{2}}{\boldsymbol{y}}+\boldsymbol{x}\right) \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
-y\,dx + \Bigl(\frac{x^2}{y} + x\Bigr)\,dy = 0
e pede um fator integrante e a solução geral. Aqui identificamos
M(x,y) = -y, \quad N(x,y) = \frac{x^2}{y} + x
e vamos verificar se é exata.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2x}{y} + 1.
Como -1 \neq \tfrac{2x}{y}+1, a equação não é exata e precisamos de um fator integrante.

Passo 3

Testamos um fator integrante \mu que dependa só de x. Para isso, verificamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{-1 -\bigl(\frac{2x}{y}+1\bigr)}{\frac{x^2}{y}+x} = \frac{-2 - \tfrac{2x}{y}}{\tfrac{x(x+y)}{y}} = -\frac{2(x+y)/y}{x(x+y)/y} = -\frac{2}{x},
que depende apenas de x. Logo
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por x^{-2} obtemos
M^*(x,y) = -\frac{y}{x^2}, \qquad N^*(x,y) = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}.
Agora
\frac{\partial M^*}{\partial y} = -\frac{1}{x^2}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} = -\frac{1}{x^2},
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M^*(x,y) = -\frac{y}{x^2}.
Integrando em x,
F(x,y) = \int -\frac{y}{x^2}\,dx = \frac{y}{x} + g(y).
Para ajustar g(y), usamos
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{x} + g'(y) \stackrel!= N^*(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y},
daí g'(y)=\frac{1}{y} e g(y)=\ln|y|. Assim
F(x,y) = \frac{y}{x} + \ln|y|.

Resposta

\frac{y}{x} + \ln|y| = C.

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