Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que envolve a combinação de
dentro de uma função trigonométrica. Vamos usar a substituição adequada para reduzir a equação a uma forma separável.
Passo 2
Definimos a nova função
Daí
e, aplicando a regra do produto,
Passo 3
Substituindo
e
em termos de
na equação original, temos
Cancelando o termo
dos dois lados, sobra
que é uma equação diferencial separável em
e
.
Passo 4
Separamos as variáveis e integramos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original, lembramos que
. Logo, a solução implícita é
Para obter a forma explícita, isolamos
:
Resposta
A solução geral pode ser dada implicitamente por
ou explicitamente por
onde
é a constante de integração.