Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
\boldsymbol{y}^{\prime}=\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{\operatorname { s e c }}\left(\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = \frac{y}{x} + x\,\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr),
que envolve a combinação de y/x dentro de uma função trigonométrica. Vamos usar a substituição adequada para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Definimos a nova função
u(x) = \frac{y(x)}{x}.
Daí y = x\,u e, aplicando a regra do produto,
y' = \frac{d}{dx}(x\,u) = u + x\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Substituindo y e y' em termos de u na equação original, temos
u + x\,\frac{du}{dx} = u + x\,\operatorname{sec}(u).
Cancelando o termo u dos dois lados, sobra
x\,\frac{du}{dx} = x\,\operatorname{sec}(u) \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \operatorname{sec}(u),
que é uma equação diferencial separável em u e x.

Passo 4

Separamos as variáveis e integramos:
\int \frac{du}{\operatorname{sec}(u)} = \int dx \quad\Longrightarrow\quad \int \cos(u)\,du = \int dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(u) = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, lembramos que u = y/x. Logo, a solução implícita é
\sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = x + C.
Para obter a forma explícita, isolamos y:
\frac{y}{x} = \arcsin(x + C) \quad\Longrightarrow\quad y = x\,\arcsin(x + C).

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
\sin\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = x + C
ou explicitamente por
y = x\,\arcsin(x + C),
onde C é a constante de integração.

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