Seja
não vazio e limitado inferiormente. Mostre que
se, e somente se, satisfaz as seguintes condições:
a)
é cota inferior de
, e
b)
tal que
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado diz que
é não vazio e limitado inferiormente. Queremos mostrar a equivalência
O conteúdo usado será a definição de ínfimo como “a maior das cotas inferiores”.
Passo 2
(Prova de “
”) Suponha
.
- Por ser ínfimo,
é cota inferior de . Isso já dá a condição (a). - Para qualquer
, é maior que . Se não existisse com , então todos os satisfariam , o que faria de uma cota inferior de maior que . Mas isso contradiz o fato de ser a maior cota inferior. Logo existe com
estabelecendo (b).
Passo 3
(Prova de “
”) Agora suponha (a) e (b).
- A condição (a) diz que
é cota inferior, ou seja,
- Vamos mostrar que
é a maior cota inferior. Seja qualquer cota inferior de . Suponha, por contradição, que . Então definimos . Pela condição (b) existe tal que
Mas isso contradiz
ser cota inferior (pois uma cota inferior
exigiria
para todo
). Logo não pode ocorrer
, ou seja,
Isso mostra que nenhuma cota inferior de
ultrapassa
, de modo que
é, de fato, o maior dentre elas. Portanto
.
Resposta
Mostramos que
se, e somente se, (a)
é cota inferior de
e (b) para todo
existe
com
.