Seja S \subset \mathbb{R} não vazio e limitado inferiormente. Mostre que m=\inf S se, e somente se, satisfaz as seguintes condições:
a) m é cota inferior de S, e
b) \forall \epsilon>0, \exists x \in S tal que x<m+\epsilon.

Passo 1

O enunciado diz que S\subset\mathbb{R} é não vazio e limitado inferiormente. Queremos mostrar a equivalência
m = \inf S \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \text{(a) }m\text{ é cota inferior de }S,\\\ \text{(b) }\forall \epsilon>0,\;\exists x\in S\text{ com }x < m+\epsilon. \end{cases}é
O conteúdo usado será a definição de ínfimo como “a maior das cotas inferiores”.

Passo 2

(Prova de “ \Rightarrow”) Suponha m=\inf S.
  1. Por ser ínfimo, m é cota inferior de S. Isso já dá a condição (a).
  2. Para qualquer \epsilon>0, m+\epsilon é maior que m. Se não existisse x\in S com x<m+\epsilon, então todos os x\in S satisfariam x\ge m+\epsilon, o que faria de m+\epsilon uma cota inferior de S maior que m. Mas isso contradiz o fato de m ser a maior cota inferior. Logo existe x\in S com
x < m+\epsilon,
estabelecendo (b).

Passo 3

(Prova de “ \Leftarrow”) Agora suponha (a) e (b).
  1. A condição (a) diz que m é cota inferior, ou seja,
\forall x\in S,\;m \le x.
  1. Vamos mostrar que m é a maior cota inferior. Seja \ell qualquer cota inferior de S. Suponha, por contradição, que \ell>m. Então definimos \epsilon = \ell - m>0. Pela condição (b) existe x\in S tal que
x < m + \epsilon = m + (\ell - m) = \ell.
Mas isso contradiz \ell ser cota inferior (pois uma cota inferior \ell exigiria x\ge\ell para todo x\in S). Logo não pode ocorrer \ell>m, ou seja, \ell \le m. Isso mostra que nenhuma cota inferior de S ultrapassa m, de modo que m é, de fato, o maior dentre elas. Portanto m=\inf S.

Resposta

Mostramos que m=\inf S se, e somente se, (a) m é cota inferior de S e (b) para todo \epsilon>0 existe x\in S com x<m+\epsilon.

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