Mostre que, se S \subset \mathbb{R} é limitado inferiormente e m_{0}=\inf S, então, para cada y>m_{0}, existe x \in S tal que y>x \geq m_{0}.

Passo 1

O enunciado afirma que S\subset\mathbb{R} é limitado inferiormente e que m_{0}=\inf S. Queremos mostrar que, para todo y>m_{0}, existe x\in S tal que
m_{0}\le x<y.
Para isso, vamos usar a definição de ínfimo como “maior limite inferior” de um conjunto.

Passo 2

Pela definição de limite inferior, m_{0} é um limite inferior de S. Isso significa que
\forall\,s\in S,\quad m_{0}\le s.

Passo 3

Pela definição de ínfimo como o maior limite inferior, qualquer número maior que m_{0} não pode ser um limite inferior de S. Em outras palavras, se tomamos um \alpha tal que \alpha>m_{0}, então \alpha deixa de ser limite inferior e, portanto,
\exists\,x\in S\text{ com }x<\alpha.

Passo 4

Basta agora escolher \alpha=y. Como y>m_{0}, pelo passo anterior existe x\in S tal que x<y. Juntando isso com o passo 2, concluímos
m_{0}\le x<y,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Para cada y>m_{0} existe x\in S tal que
m_{0}\le x<y.

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