Mostre que, se
é limitado inferiormente e
, então, para cada
, existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é limitado inferiormente e que
. Queremos mostrar que, para todo
, existe
tal que
Para isso, vamos usar a definição de ínfimo como “maior limite inferior” de um conjunto.
Passo 2
Pela definição de limite inferior,
é um limite inferior de
. Isso significa que
Passo 3
Pela definição de ínfimo como o maior limite inferior, qualquer número maior que
não pode ser um limite inferior de
. Em outras palavras, se tomamos um
tal que
, então
deixa de ser limite inferior e, portanto,
Passo 4
Basta agora escolher
. Como
, pelo passo anterior existe
tal que
. Juntando isso com o passo 2, concluímos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Para cada
existe
tal que