Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y^{\prime}=2 y+x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y' = 2y + x^{4}
e pede para determinar as soluções gerais. Informações e observações importantes fornecidas pela equação:
  • A equação envolve y', a derivada de y em relação a x.
  • Há um fator x multiplicando y'; isso indica que a manipulação que divide por x só é válida quando x\neq 0.
  • A pergunta é: encontrar a família de soluções gerais y(x) (com constante arbitrária), indicando as restrições de domínio se houver.

Passo 2

Reescrevendo a equação em uma forma padrão, dividindo por x (assumindo provisoriamente x\neq 0):
y' - \frac{2}{x}\,y = x^{3}.
Esta forma mostra uma equação linear de primeira ordem no formato
y' + P(x)\,y = Q(x),
com P(x) = -\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{3}.

Passo 3

Método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Para resolver uma equação linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x), usa-se um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x) = \exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) torna-se mais fácil porque o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(x)\,y.
Aplicando ao nosso caso: calcular \mu(x) com P(x)=-\dfrac{2}{x}.
\int P(x)\,dx = \int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|.
Logo
\mu(x) = \exp\!\big(-2\ln|x|\big)=|x|^{-2}.
Em intervalos onde x não muda de sinal podemos usar simplesmente \mu(x)=x^{-2}.

Passo 4

Multiplicando a equação y' - \dfrac{2}{x}y = x^{3} por \mu(x)=x^{-2} (válido para x\neq 0) obtemos
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x.
Agora verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{-2}y. De fato, pela regra do produto,
\big(x^{-2}y\big)' = x^{-2}y' + (x^{-2})'y = x^{-2}y' -2x^{-3}y.
Portanto podemos escrever a equação como
\big(x^{-2}y\big)' = x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Integrando a igualdade \big(x^{-2}y\big)' = x obtemos
x^{-2}y = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 6

Isolando y multiplicando por x^{2}:
y = x^{2}\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right) = \frac{1}{2}x^{4} + Cx^{2},
com C\in\mathbb{R}. Esta é a família geral de soluções válida em qualquer intervalo em que x\neq 0 (ou em intervalos onde \mu(x)=x^{-2} é bem definida e contínua).

Passo 7

Discussão sobre x=0 e possível extensão:
  • A equação original não permite dividir por x em x=0, então o ponto x=0 é singular para a forma padrão. Porém, avaliando a equação original em x=0 obtemos
0\cdot y'(0) = 2y(0) + 0 \quad\Rightarrow\quad 0 = 2y(0),
ou seja, qualquer solução que seja definida em x=0 deve satisfazer y(0)=0.
  • A família encontrada \displaystyle y(x)=\frac{1}{2}x^{4}+Cx^{2} tem limite 0 quando x\to 0 para qualquer C; portanto cada função dessa família pode ser estendida continuamente definindo y(0)=0. A derivada estendida vale y'(0)=0, e a igualdade 0\cdot y'(0)=2y(0) também é satisfeita.
  • Conclusão prática: a expressão \displaystyle y(x)=\frac{1}{2}x^{4}+Cx^{2} representa a solução geral para x\neq 0, e pode ser estendida para x=0 definindo y(0)=0. A equação original não impõe restrição adicional sobre y'(0) pois o termo x\,y' anula-se em x=0.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{2}x^{4}+C\,x^{2},\quad C\in\mathbb{R}

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