Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
x y^{\prime}=2 y+x^{4}
x y^{\prime}=2 y+x^{4}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar as soluções gerais. Informações e observações importantes fornecidas pela equação:
- A equação envolve
, a derivada de em relação a . - Há um fator
multiplicando ; isso indica que a manipulação que divide por só é válida quando . - A pergunta é: encontrar a família de soluções gerais
(com constante arbitrária), indicando as restrições de domínio se houver.
Passo 2
Reescrevendo a equação em uma forma padrão, dividindo por
(assumindo provisoriamente
):
Esta forma mostra uma equação linear de primeira ordem no formato
com
e
.
Passo 3
Método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
- Para resolver uma equação linear de primeira ordem
, usa-se um fator integrante definido por
- Multiplicando a equação por
torna-se mais fácil porque o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto .
Aplicando ao nosso caso: calcular
com
.
Logo
Em intervalos onde
não muda de sinal podemos usar simplesmente
.
Passo 4
Multiplicando a equação
por
(válido para
) obtemos
Agora verificamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato, pela regra do produto,
Portanto podemos escrever a equação como
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
. Integrando a igualdade
obtemos
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 6
Isolando
multiplicando por
:
com
. Esta é a família geral de soluções válida em qualquer intervalo em que
(ou em intervalos onde
é bem definida e contínua).
Passo 7
Discussão sobre
e possível extensão:
- A equação original não permite dividir por
em , então o ponto é singular para a forma padrão. Porém, avaliando a equação original em obtemos
ou seja, qualquer solução que seja definida em
deve satisfazer
.
- A família encontrada
tem limite quando para qualquer ; portanto cada função dessa família pode ser estendida continuamente definindo . A derivada estendida vale , e a igualdade também é satisfeita. - Conclusão prática: a expressão
representa a solução geral para , e pode ser estendida para definindo . A equação original não impõe restrição adicional sobre pois o termo anula-se em .