Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}+2 y=\cos x
y^{\prime}+2 y=\cos x
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que se determine as soluções gerais dessa equação. Informações relevantes dadas:
- A equação envolve a derivada de
em relação a , notada por . - O termo que multiplica
é a constante . - O termo não homogêneo é
.
A tarefa é encontrar a família de todas as funçõesque satisfazem essa igualdade para todo .
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma clara para aplicar um procedimento sistemático. Já está na forma
com
e
. Essa forma é conveniente porque existe um método padrão que transforma o lado esquerdo numa derivada de produto e assim permite integrar. Não vou pular etapas: explico o passo seguinte (fórmula do fator integrante).
Passo 3
Definição e cálculo do fator integrante. Para uma equação da forma
usa-se o fator integrante
Aqui
, logo
O propósito do fator integrante é que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Vou mostrar isso explicitamente no próximo passo.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora verificar que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
porque, pela regra do produto,
. Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Isso dá
onde
é a constante de integração. Agora é preciso calcular a integral
Vou calcular
passo a passo por partes, porque essa é uma integral clássica que aparece muito em provas.
Passo 6
Cálculo de
por integração por partes (duas vezes). Primeiro, usar a notação usual: escolho
e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
Agora calcule
. Fazendo integração por partes em
com
,
temos
e
, então
Voltar à expressão de
:
Simplificando:
Reunindo termos com
no lado esquerdo:
Logo
Portanto
Passo 7
Voltar à relação obtida em Passo 5:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero) obtemos a solução geral
onde
é a constante arbitrária real. Aqui é interessante notar a decomposição:
- A função
é uma solução particular de . - A função
é a solução geral da equação homogênea associada .
A solução geral é soma da particular com a solução homogênea, como mostrado.