Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}+2 y=\cos x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' + 2y = \cos x
e pede que se determine as soluções gerais dessa equação. Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve a derivada de y em relação a x, notada por y'.
  • O termo que multiplica y é a constante 2.
  • O termo não homogêneo é \cos x.
    A tarefa é encontrar a família de todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma clara para aplicar um procedimento sistemático. Já está na forma
y' + p(x)\,y = q(x)
com p(x)=2 e q(x)=\cos x. Essa forma é conveniente porque existe um método padrão que transforma o lado esquerdo numa derivada de produto e assim permite integrar. Não vou pular etapas: explico o passo seguinte (fórmula do fator integrante).

Passo 3

Definição e cálculo do fator integrante. Para uma equação da forma y' + p(x)y = q(x) usa-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=2, logo
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
O propósito do fator integrante é que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y(x). Vou mostrar isso explicitamente no próximo passo.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{2x} obtemos
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}\cos x.
Agora verificar que o lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{2x}y:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big) = e^{2x}y' + 2e^{2x}y,
porque, pela regra do produto, \frac{d}{dx}(e^{2x})=2e^{2x}. Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big) = e^{2x}\cos x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Isso dá
e^{2x}y = \int e^{2x}\cos x\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora é preciso calcular a integral
I=\int e^{2x}\cos x\,dx.
Vou calcular I passo a passo por partes, porque essa é uma integral clássica que aparece muito em provas.

Passo 6

Cálculo de I por integração por partes (duas vezes). Primeiro, usar a notação usual: escolho u=\cos x e dv=e^{2x}dx. Então du=-\sin x\,dx e v=\dfrac{e^{2x}}{2}. Aplicando integração por partes:
I = \frac{e^{2x}}{2}\cos x - \int \frac{e^{2x}}{2}(-\sin x)\,dx = \frac{e^{2x}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin x\,dx.
Agora calcule J=\int e^{2x}\sin x\,dx. Fazendo integração por partes em J com u=\sin x, dv=e^{2x}dx temos du=\cos x\,dx e v=\dfrac{e^{2x}}{2}, então
J = \frac{e^{2x}}{2}\sin x - \int \frac{e^{2x}}{2}\cos x\,dx = \frac{e^{2x}}{2}\sin x - \frac{1}{2}I.
Voltar à expressão de I:
I = \frac{e^{2x}}{2}\cos x + \frac{1}{2}J = \frac{e^{2x}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\left(\frac{e^{2x}}{2}\sin x - \frac{1}{2}I\right).
Simplificando:
I = \frac{e^{2x}}{2}\cos x + \frac{e^{2x}}{4}\sin x - \frac{1}{4}I.
Reunindo termos com I no lado esquerdo:
I + \frac{1}{4}I = \frac{5}{4}I = e^{2x}\left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{4}\sin x\right).
Logo
I = \frac{4}{5}\,e^{2x}\left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{4}\sin x\right) = \frac{e^{2x}}{5}\big(2\cos x + \sin x\big).
Portanto
\int e^{2x}\cos x\,dx = \frac{e^{2x}}{5}\big(2\cos x + \sin x\big) + \text{const}.

Passo 7

Voltar à relação obtida em Passo 5:
e^{2x}y = \frac{e^{2x}}{5}\big(2\cos x + \sin x\big) + C.
Dividindo ambos os lados por e^{2x} (que nunca é zero) obtemos a solução geral
y(x) = \frac{1}{5}\big(2\cos x + \sin x\big) + C e^{-2x},
onde C é a constante arbitrária real. Aqui é interessante notar a decomposição:
  • A função \dfrac{1}{5}\big(2\cos x + \sin x\big) é uma solução particular de y' + 2y = \cos x.
  • A função C e^{-2x} é a solução geral da equação homogênea associada y' + 2y = 0.
    A solução geral é soma da particular com a solução homogênea, como mostrado.

Resposta

y(x)=\frac{1}{5}\big(2\cos x + \sin x\big) + C e^{-2x},\quad C\in\mathbb{R}.

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