Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y{\prime}-y=e{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação
y' - y = e^{x}.
Informações dadas:
  • Está dada uma relação entre y e sua derivada y' (derivada em relação a x).
  • Deve-se encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade, ou seja, a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos reescrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. Colocando no formato
y' + p(x)y = q(x),
temos aqui
p(x) = -1,\qquad q(x)=e^{x}.
Ideia útil (explicada passo a passo): multiplicando a equação por um fator apropriado \mu(x) (chamado fator integrante) conseguimos que o lado esquerdo seja a derivada de um produto \mu(x)y(x). Esse procedimento transforma a equação numa forma facilmente integrável.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). A fórmula é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Substituindo p(x)=-1,
\mu(x)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=\exp(-x)=e^{-x}.
Isto significa que devemos multiplicar toda a equação por e^{-x}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por e^{-x} obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}e^{x}=1.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto e^{-x}y. Para ver isso, calcule explicitamente a derivada:
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = e^{-x}y' + (e^{-x})'y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
Logo a equação fica
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = 1.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{-x}y\bigr)'\,dx = \int 1\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{-x}y, e a do lado direito é x mais constante de integração C. Assim
e^{-x}y = x + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 6

Isolar y multiplicando por e^{x}:
y = e^{x}(x + C) = x e^{x} + C e^{x}.
Este é o conjunto de todas as soluções da equação — a constante C gera a família de soluções.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): diferencie y e substitua na equação para checar.
Começando de y = x e^{x} + C e^{x},
y' = e^{x} + x e^{x} + C e^{x} = e^{x}(1 + x + C).
Então
y' - y = e^{x}(1 + x + C) - e^{x}(x + C) = e^{x},
o que confirma que a solução está correta.

Passo 8

Resumo prático que serve para a prova: para equações da forma y' + p(x)y = q(x), calcule \mu(x)=\exp(\int p), multiplique a equação por \mu, reconheça a derivada (\mu y)', integre, e isole y. Repita esse processo com calma; funciona sempre que for uma equação linear de primeira ordem. Você consegue — foque nesses passos na folha da prova!

Resposta

y = e^{x}(x + C)

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