Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y{\prime}-y=e{x}
y{\prime}-y=e{x}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação
Informações dadas:
- Está dada uma relação entre
e sua derivada (derivada em relação a ). - Deve-se encontrar a família de funções
que satisfazem essa igualdade, ou seja, a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos reescrever a equação numa forma padrão que facilita a solução. Colocando no formato
temos aqui
Ideia útil (explicada passo a passo): multiplicando a equação por um fator apropriado
(chamado fator integrante) conseguimos que o lado esquerdo seja a derivada de um produto
. Esse procedimento transforma a equação numa forma facilmente integrável.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. A fórmula é
Substituindo
,
Isto significa que devemos multiplicar toda a equação por
.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Para ver isso, calcule explicitamente a derivada:
Logo a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
mais constante de integração
. Assim
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 6
Isolar
multiplicando por
:
Este é o conjunto de todas as soluções da equação — a constante
gera a família de soluções.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): diferencie
e substitua na equação para checar.
Começando de ,
Começando de
Então
o que confirma que a solução está correta.
Passo 8
Resumo prático que serve para a prova: para equações da forma
, calcule
, multiplique a equação por
, reconheça a derivada
, integre, e isole
. Repita esse processo com calma; funciona sempre que for uma equação linear de primeira ordem. Você consegue — foque nesses passos na folha da prova!