Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}=2 x(y-x)+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y' = 2x(y - x) + 1
e pede: determinar as soluções gerais dessa equação.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é y função de x.
  • A equação envolve y' (derivada de y em relação a x), termos em x, y e um termo constante 1.
  • Deve ser encontrada a família geral de soluções, com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro desenvolvo o lado direito:
y' = 2x y - 2x^2 + 1.
Passo para a forma padrão y' + p(x)y = q(x). Subtraindo 2x y dos dois lados:
y' - 2x\,y = 1 - 2x^2.
Aqui p(x) = -2x e q(x)=1-2x^2. Explico o conceito: uma equação linear de primeira ordem tem a forma y' + p(x)y = q(x). A técnica padrão para resolvê-la é usar um fator integrante \mu(x) tal que o produto \mu(x)y tenha derivada simples.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). A fórmula é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Como p(x)=-2x, temos
\int p(x)\,dx=\int -2x\,dx = -x^2,
logo
\mu(x)=e^{-x^2}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x) obtemos
e^{-x^2}y' - 2x e^{-x^2} y = (1-2x^2)e^{-x^2}.
Explico por que fiz isso: pela regra do produto, a expressão à esquerda é precisamente a derivada do produto \mu(x)y. Verifico:
\bigl(e^{-x^2}y\bigr)' = e^{-x^2}y' + (e^{-x^2})' y.
E (e^{-x^2})' = -2x e^{-x^2}, então
\bigl(e^{-x^2}y\bigr)' = e^{-x^2}y' - 2x e^{-x^2} y,
que coincide com a esquerda da equação multiplicada pelo fator integrante.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
\bigl(e^{-x^2}y\bigr)' = (1-2x^2)e^{-x^2},
portanto
\int \bigl(e^{-x^2}y\bigr)'\,dx = \int (1-2x^2)e^{-x^2}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{-x^2}y. Agora calcular a integral do lado direito. Note a observação útil: a função x e^{-x^2} tem derivada
\bigl(x e^{-x^2}\bigr)' = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2} = \bigl(1-2x^2\bigr)e^{-x^2}.
Ou seja, o integrando é exatamente a derivada de x e^{-x^2}. Portanto
\int (1-2x^2)e^{-x^2}\,dx = x e^{-x^2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando os resultados da integração:
e^{-x^2}y = x e^{-x^2} + C.
Agora isolo y. Multiplico ambos os lados por e^{x^2}:
y = x + C e^{x^2}.
Aqui C é uma constante arbitrária real, que descreve a família geral de soluções.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): tomo y = x + C e^{x^2}. Calculo a derivada
y' = 1 + C\cdot 2x e^{x^2} = 1 + 2x\bigl(C e^{x^2}\bigr).
Como y-x = C e^{x^2}, isto dá
y' = 1 + 2x(y-x),
que é exatamente a equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=x+Ce^{x^2},
onde C é constante arbitrária.

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