Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}=2 x(y-x)+1
y^{\prime}=2 x(y-x)+1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede: determinar as soluções gerais dessa equação.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
função de . - A equação envolve
(derivada de em relação a ), termos em , e um termo constante . - Deve ser encontrada a família geral de soluções, com constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro desenvolvo o lado direito:
Passo para a forma padrão
. Subtraindo
dos dois lados:
Aqui
e
. Explico o conceito: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. A técnica padrão para resolvê-la é usar um fator integrante
tal que o produto
tenha derivada simples.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. A fórmula é
Como
, temos
logo
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Explico por que fiz isso: pela regra do produto, a expressão à esquerda é precisamente a derivada do produto
. Verifico:
E
, então
que coincide com a esquerda da equação multiplicada pelo fator integrante.
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
. Temos
portanto
O lado esquerdo integra para
. Agora calcular a integral do lado direito. Note a observação útil: a função
tem derivada
Ou seja, o integrando é exatamente a derivada de
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Igualando os resultados da integração:
Agora isolo
. Multiplico ambos os lados por
:
Aqui
é uma constante arbitrária real, que descreve a família geral de soluções.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): tomo
. Calculo a derivada
Como
, isto dá
que é exatamente a equação original. Logo a solução está correta.
Resposta
onde
é constante arbitrária.