Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}+y=1
y^{\prime}+y=1
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções gerais da equação diferencial ordinária dada. As informações fornecidas são:
- A equação é
- Não há condições iniciais; portanto quer-se a família geral de soluções (com constante arbitrária).
O objetivo é encontrar todas as funçõesque satisfazem essa igualdade para todo em algum intervalo.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): para equações lineares de primeira ordem do tipo
é muito prático usar uma decomposição em duas partes:
- achar a solução geral da equação homogênea associada
- encontrar uma solução particular
da equação completa
a solução geral é então
onde
é a solução geral da homogênea.
No nosso caso
e
. Essa técnica funciona porque a parte homogênea descreve o comportamento da parte “livre” da solução e qualquer solução particular desloca essa família homogênea.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
A homogênea é
Reescrevendo como derivada separável:
Separando variáveis e integrando:
Integrando ambos os lados:
onde
é uma constante de integração. Exponenciando:
Absorvendo o sinal e a constante em uma constante arbitrária
, obtemos a solução geral da homogênea:
Aqui
representa qualquer constante real.
Passo 4
Encontrar uma solução particular
da equação completa.
Como o termo do lado direito é a constante
, uma escolha simples é tentar uma solução particular constante: suponha
onde
é constante. Então
. Substituindo na equação:
Logo uma solução particular é
Explicação do raciocínio: quando o segundo membro é uma constante, tentar uma solução constante costuma ser a maneira mais direta.
Passo 5
Combinar soluções para obter a solução geral.
A solução geral da equação é a soma da solução particular com a solução geral da homogênea:
A solução geral da equação é a soma da solução particular com a solução geral da homogênea:
onde
é a constante arbitrária que aparece da solução homogênea.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução geral:
Substituindo em
:
portanto a solução satisfaz a equação, como esperado.