Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}+y=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções gerais da equação diferencial ordinária dada. As informações fornecidas são:
  • A equação é y^{\prime}+y=1.
  • Não há condições iniciais; portanto quer-se a família geral de soluções (com constante arbitrária).
    O objetivo é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x em algum intervalo.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): para equações lineares de primeira ordem do tipo y'+p(x)\,y=q(x) é muito prático usar uma decomposição em duas partes:
  1. achar a solução geral da equação homogênea associada y'+p(x)\,y=0;
  2. encontrar uma solução particular y_p da equação completa y'+p(x)\,y=q(x);
a solução geral é então y=y_p+y_h, onde y_h é a solução geral da homogênea.
No nosso caso p(x)=1 e q(x)=1. Essa técnica funciona porque a parte homogênea descreve o comportamento da parte “livre” da solução e qualquer solução particular desloca essa família homogênea.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
A homogênea é y_h^{\prime}+y_h=0.
Reescrevendo como derivada separável: \frac{dy_h}{dx}=-y_h.
Separando variáveis e integrando:
\frac{dy_h}{y_h}=-dx.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dy_h}{y_h} = \int -dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y_h| = -x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Exponenciando:
|y_h| = e^{-x+C_1}=e^{C_1}e^{-x}.
Absorvendo o sinal e a constante em uma constante arbitrária C\in\mathbb{R}, obtemos a solução geral da homogênea:
y_h(x)=C e^{-x}.
Aqui C representa qualquer constante real.

Passo 4

Encontrar uma solução particular y_p da equação completa.
Como o termo do lado direito é a constante 1, uma escolha simples é tentar uma solução particular constante: suponha y_p(x)=A, onde A é constante. Então y_p^{\prime}=0. Substituindo na equação:
0 + A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo uma solução particular é y_p(x)=1.
Explicação do raciocínio: quando o segundo membro é uma constante, tentar uma solução constante costuma ser a maneira mais direta.

Passo 5

Combinar soluções para obter a solução geral.
A solução geral da equação é a soma da solução particular com a solução geral da homogênea:
y(x)=y_p(x)+y_h(x)=1 + C e^{-x},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária que aparece da solução homogênea.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução geral:
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(1 + C e^{-x}\big)= -C e^{-x}.
Substituindo em y'+y:
y'+y = -C e^{-x} + \big(1 + C e^{-x}\big) = 1,
portanto a solução satisfaz a equação, como esperado.

Resposta

y(x)=1 + C e^{-x},\quad C\in\mathbb{R}.

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