Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}-4 y=2 x-4 x^{2}
y^{\prime}-4 y=2 x-4 x^{2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação é de primeira ordem (aparece apenas
e ). - Deve-se encontrar a solução geral, ou seja, a família de funções que satisfazem a equação, com constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com a equação dada, temos
Explicação didática do método (integrating factor): para solucionar uma equação linear de primeira ordem usa-se um fator integrante
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de
. Esse fator
é dado por
A razão: se
então
logo multiplicando por
podemos integrar diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Obtemos
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Portanto podemos escrever
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calculamos a integral
Separando termos:
Calcule primeiro
por partes. Seja
,
. Então
,
. Assim
Multiplicando por
dá a primeira parte:
Agora calcule
. Por partes: tome
,
. Então
,
. Logo
Substituindo o resultado anterior para
:
Multiplicando por
para a segunda parte de
:
Agora volte a
:
Ao simplificar, muitos termos se cancelam e sobra
Como já temos uma constante de integração global
, podemos escrever diretamente
Passo 6
Isolar
:
onde
é uma constante arbitrária real. Verificação rápida (opcional): derivando
obtém-se
. Então
o que confirma que a solução é correta.