Determinar as soluções gerais das seguintes equações.
y^{\prime}-4 y=2 x-4 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções gerais da equação diferencial
y'-4y=2x-4x^{2}.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é de primeira ordem (aparece apenas y' e y).
  • Deve-se encontrar a solução geral, ou seja, a família de funções que satisfazem a equação, com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y'+p(x)y=q(x).
Comparando com a equação dada, temos
p(x)=-4,\qquad q(x)=2x-4x^{2}.
Explicação didática do método (integrating factor): para solucionar uma equação linear de primeira ordem usa-se um fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Esse fator \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
A razão: se \mu'=\mu p então
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu\bigl(y'+p y\bigr),
logo multiplicando por \mu podemos integrar diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int -4\,dx\right)=\exp(-4x)=e^{-4x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-4x}. Obtemos
e^{-4x}y'-4e^{-4x}y=e^{-4x}(2x-4x^{2}).
Pelo motivo explicado no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{-4x}y\bigr)'=e^{-4x}y'-4e^{-4x}y.
Portanto podemos escrever
\bigl(e^{-4x}y\bigr)'=e^{-4x}(2x-4x^{2}).

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{-4x}y=\int e^{-4x}(2x-4x^{2})\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral
I=\int e^{-4x}(2x-4x^{2})\,dx.
Separando termos:
I=\int 2x e^{-4x}\,dx - \int 4x^{2}e^{-4x}\,dx.
Calcule primeiro \int x e^{-4x}\,dx por partes. Seja u=x, dv=e^{-4x}dx. Então du=dx, v=\int e^{-4x}dx=-\tfrac{1}{4}e^{-4x}. Assim
\int x e^{-4x}\,dx = uv-\int v\,du = -\tfrac{x}{4}e^{-4x} - \int\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right)dx = -\tfrac{x}{4}e^{-4x} -\tfrac{1}{4}\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right) = -\tfrac{x}{4}e^{-4x} -\tfrac{1}{16}e^{-4x}.
Multiplicando por 2 dá a primeira parte:
\int 2x e^{-4x}\,dx = -\tfrac{x}{2}e^{-4x} -\tfrac{1}{8}e^{-4x}.
Agora calcule \int x^{2}e^{-4x}\,dx. Por partes: tome u=x^{2}, dv=e^{-4x}dx. Então du=2x\,dx, v=-\tfrac{1}{4}e^{-4x}. Logo
\int x^{2}e^{-4x}\,dx = -\tfrac{x^{2}}{4}e^{-4x} - \int\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\cdot 2x\right)dx = -\tfrac{x^{2}}{4}e^{-4x} + \tfrac{1}{2}\int x e^{-4x}\,dx.
Substituindo o resultado anterior para \int x e^{-4x}\,dx:
\int x^{2}e^{-4x}\,dx = -\tfrac{x^{2}}{4}e^{-4x} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{x}{4}e^{-4x} -\tfrac{1}{16}e^{-4x}\right) = -\tfrac{x^{2}}{4}e^{-4x} -\tfrac{x}{8}e^{-4x} -\tfrac{1}{32}e^{-4x}.
Multiplicando por 4 para a segunda parte de I:
\int 4x^{2}e^{-4x}\,dx = -x^{2}e^{-4x} -\tfrac{x}{2}e^{-4x} -\tfrac{1}{8}e^{-4x}.
Agora volte a I:
I=\left(-\tfrac{x}{2}e^{-4x} -\tfrac{1}{8}e^{-4x}\right) - \left(-x^{2}e^{-4x} -\tfrac{x}{2}e^{-4x} -\tfrac{1}{8}e^{-4x}\right).
Ao simplificar, muitos termos se cancelam e sobra
I = x^{2}e^{-4x} + \text{constante}.
Como já temos uma constante de integração global C, podemos escrever diretamente
e^{-4x}y = x^{2}e^{-4x} + C.

Passo 6

Isolar y:
y = x^{2} + C e^{4x},
onde C é uma constante arbitrária real. Verificação rápida (opcional): derivando y obtém-se y'=2x+4C e^{4x}. Então
y'-4y = \bigl(2x+4C e^{4x}\bigr) -4\bigl(x^{2}+C e^{4x}\bigr)=2x-4x^{2},
o que confirma que a solução é correta.

Resposta

y(x)=x^{2}+C e^{4x},\quad C\in\mathbb{R}.

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