Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
\mathbf{y}^{\prime \prime}+0.25 \mathbf{y}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
\mathbf{y}'' + 0,25\,\mathbf{y} = 0,
e pede: determinar as soluções (a solução geral). Informações relevantes que temos:
  • É uma equação linear homogênea com coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Método escolhido (explicação curta e por que): usar a forma exponencial tentativa \mathbf{y}=e^{r x}. Isso é padrão para equações com coeficientes constantes porque derivando exponenciais obtém-se facilmente fatores em r, o que transforma a EDO numa equação algébrica (a equação característica). Agora aplico essa tentativa e mostro os passos.
Se \mathbf{y}=e^{r x} então
\mathbf{y}' = r e^{r x},\qquad \mathbf{y}'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação original:
r^{2} e^{r x} + 0,25\, e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
r^{2} + 0,25 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^{2} = -0,25.
Tomando raiz quadrada,
r = \pm \sqrt{-0,25} = \pm 0,5\,\mathrm{i}.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas e podem ser escritas como
r = \alpha \pm \mathrm{i}\beta\quad\text{com}\quad \alpha=0,\\ \beta=0,5.

Passo 4

Regra para raízes complexas conjugadas: quando a equação característica tem raízes r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}), a solução geral real da EDO homogênea é
\mathbf{y}(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Explicação rápida do porquê (sem pular etapas): das raízes complexas vêm soluções complexas e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x} e e^{(\alpha-\mathrm{i}\beta)x}. Usando a fórmula de Euler
e^{\mathrm{i}\beta x}=\cos(\beta x)+\mathrm{i}\sin(\beta x),
obtemos que as partes reais e imaginárias dessas exponenciais são soluções reais independentes, e portanto a combinação linear real acima é a solução geral real.

Passo 5

Aplicando \alpha=0 e \beta=0,5 ao resultado do passo anterior, obtemos a solução geral da equação dada:
\mathbf{y}(x)=C_{1}\cos\bigl(0,5x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(0,5x\bigr),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Comentário prático: se fossem dadas condições iniciais, basta avaliar \mathbf{y}(0) e \mathbf{y}'(0) para resolver o sistema linear que determina C_{1} e C_{2}.

Resposta

\mathbf{y}(x)=C_{1}\cos\bigl(0,5x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(0,5x\bigr)

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