Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
e pede: determinar as soluções (a solução geral). Informações relevantes que temos:
- É uma equação linear homogênea com coeficientes constantes.
- Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Método escolhido (explicação curta e por que): usar a forma exponencial tentativa
. Isso é padrão para equações com coeficientes constantes porque derivando exponenciais obtém-se facilmente fatores em
, o que transforma a EDO numa equação algébrica (a equação característica). Agora aplico essa tentativa e mostro os passos.
Se
então
Substituindo na equação original:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica:
Tomando raiz quadrada,
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas e podem ser escritas como
Passo 4
Regra para raízes complexas conjugadas: quando a equação característica tem raízes
(com
), a solução geral real da EDO homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Explicação rápida do porquê (sem pular etapas): das raízes complexas vêm soluções complexas
e
. Usando a fórmula de Euler
obtemos que as partes reais e imaginárias dessas exponenciais são soluções reais independentes, e portanto a combinação linear real acima é a solução geral real.
Passo 5
Aplicando
e
ao resultado do passo anterior, obtemos a solução geral da equação dada:
com
. Comentário prático: se fossem dadas condições iniciais, basta avaliar
e
para resolver o sistema linear que determina
e
.