Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária envolvendo
, e . - Não foram fornecidas condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com constantes arbitrárias).
Não vou resolver ainda — só deixar claro o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Ideia de método (sem resolver ainda): uma forma direta de atacar equações lineares com coeficientes constantes é procurar soluções da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explico por que: se substituirmos
numa equação linear com derivadas, as derivadas trazem fatores de
multiplicando a mesma função exponencial, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). As soluções dessa equação determinam quais exponenciais compõem a solução geral.
Passo 3
Aplicando a tentativa
. Calcula-se
Substituindo em
obtemos, dividindo por
(que nunca é zero),
Essa é a equação característica. Resolvendo-a:
São duas raízes reais distintas.
Passo 4
Regra geral (explicação didática): quando a equação característica de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (que seriam fixadas por condições iniciais, se existissem). Aqui as raízes são
e
. Logo a forma da solução é a combinação dessas exponenciais.
Passo 5
Alternativa (redução de ordem / método mais elementar): note que a equação pode ser vista como uma equação para
. Escrevendo
, a equação fica
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Resolvendo:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante. Como
, temos
. Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração. Essa expressão coincide com a forma obtida pelo método da equação característica (identificando
e
).
Passo 6
Verificação rápida (para ter confiança): calcule
e
para
:
Substituindo em
dá
, ou seja, satisfaz a equação para quaisquer constantes
. Tudo consistente.