Determinar as soluções das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
y'' - y' = 0.
Informações dadas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária envolvendo y, y' e y''.
  • Não foram fornecidas condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com constantes arbitrárias).
    Não vou resolver ainda — só deixar claro o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Ideia de método (sem resolver ainda): uma forma direta de atacar equações lineares com coeficientes constantes é procurar soluções da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explico por que: se substituirmos y(x)=e^{r x} numa equação linear com derivadas, as derivadas trazem fatores de r multiplicando a mesma função exponencial, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). As soluções dessa equação determinam quais exponenciais compõem a solução geral.

Passo 3

Aplicando a tentativa y(x)=e^{r x}. Calcula-se
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Substituindo em \;y''-y'=0\; obtemos, dividindo por e^{r x} (que nunca é zero),
r^2 - r = 0.
Essa é a equação característica. Resolvendo-a:
r(r-1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=1.
São duas raízes reais distintas.

Passo 4

Regra geral (explicação didática): quando a equação característica de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (que seriam fixadas por condições iniciais, se existissem). Aqui as raízes são r_1=0 e r_2=1. Logo a forma da solução é a combinação dessas exponenciais.

Passo 5

Alternativa (redução de ordem / método mais elementar): note que a equação pode ser vista como uma equação para v(x)=y'(x). Escrevendo v'=y'', a equação fica
v' - v = 0.
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem para v. Resolvendo:
\frac{dv}{dx} = v \quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{v}=dx.
Integrando ambos os lados:
\ln|v| = x + C \quad\Rightarrow\quad v(x)=K e^{x},
onde K é constante. Como v=y', temos y'=K e^{x}. Integrando novamente:
y(x)=K \int e^{x}\,dx + D = K e^{x} + D,
onde D é outra constante de integração. Essa expressão coincide com a forma obtida pelo método da equação característica (identificando C_1=D e C_2=K).

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): calcule y' e y'' para y(x)=K e^{x}+D:
y'(x)=K e^{x},\qquad y''(x)=K e^{x}.
Substituindo em y''-y' K e^{x}-K e^{x}=0, ou seja, satisfaz a equação para quaisquer constantes K,D. Tudo consistente.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{x}, onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

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