Determinar o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelo conjunto A=\{(-1,3,2),(2,-2,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelo conjunto A=\{(-1,3,2),(2,-2,0)\}.
Informações dadas:
  • O conjunto gerador é A=\{v_1,v_2\} com v_1 = (-1,3,2) e v_2=(2,-2,0).
    O que se quer: descrever o subespaço \text{span}(A) (isto é, todos os vetores que podem ser obtidos por combinações lineares de v_1 e v_2) — uma descrição paramétrica e/ou uma equação cartesiana do subespaço.

Passo 2

Definição e primeira descrição: o subespaço gerado por A é o conjunto de todas as combinações lineares de v_1 e v_2. Escrevendo parâmetros s,t\in\mathbb{R},
\text{span}(A)=\{\, s\,v_1 + t\,v_2 \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Substituindo v_1 e v_2 obtemos uma forma paramétrica explícita:
\text{span}(A)=\{\, s(-1,3,2)+t(2,-2,0)\mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Vou desenvolver essa expressão coordenada a coordenada para ficar bem claro como são os vetores do subespaço.

Passo 3

Desenvolvendo a combinação linear coordenada a coordenada:
s(-1,3,2)+t(2,-2,0) = (\, -s+2t,\; 3s-2t,\; 2s+0\cdot t\,).
Chamando as coordenadas resultantes de (x,y,z), obtemos as relações
x = -s+2t,\qquad y = 3s-2t,\qquad z = 2s.
Dessas três igualdades podemos expressar s e t em função de (x,y,z) ou eliminar s,t para obter uma equação entre x,y,z. Primeiro observe que da terceira igualdade segue
s = \frac{z}{2}.
Substituindo s nas duas primeiras igualdades:
x = -\frac{z}{2} + 2t,\qquad y = 3\cdot\frac{z}{2} - 2t.
Somando as duas equações para eliminar t:
x + y = -\frac{z}{2} + 2t + \frac{3z}{2} - 2t = \left(-\frac{z}{2}+\frac{3z}{2}\right) = z.
Logo obtemos a relação linear simples entre x,y,z:
x + y - z = 0.
Isso já sugere que o subespaço é o plano passando pela origem dado por \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y-z=0\}. Antes de concluir, verifico que os geradores realmente satisfazem essa equação: para v_1 tem-se -1+3-2=0 e para v_2 tem-se 2+(-2)-0=0, ok.

Passo 4

Verificação da independência linear (para entender a dimensão e garantir que \text{span}(A)\) é realmente um plano, e não apenas uma reta). Considere \(\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0)\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} -\alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 3\alpha - 2\beta = 0,\\[4pt] 2\alpha + 0\beta = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem 2\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\]. Substituindo em qualquer outra equação obtemos \(2\beta=0\Rightarrow \beta=0. Assim \alpha=\beta=0 é a única solução, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes. Consequência: \{v_1,v_2\} é uma base do subespaço e a dimensão do subespaço é 2. Portanto o subespaço é um plano através da origem.]

Passo 5

Outra forma curta e geométrica de obter a equação do plano é calcular um vetor normal \mathbf{n} a v_1 e v_2 usando o produto vetorial:
\mathbf{n}=v_1\times v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -1 & 3 & 2 \\[4pt] 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\mathbf{n} = \bigl(3\cdot 0 - 2\cdot(-2),\; -\bigl(-1\cdot 0 - 2\cdot 2\bigr),\; -1\cdot(-2) - 3\cdot 2\bigr) = (4,4,-4).
Podemos simplificar \mathbf{n} para (1,1,-1). A equação do plano passando pela origem com normal \mathbf{n}=(1,1,-1) é
1\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z = 0,
ou seja
x + y - z = 0,
confirmando o resultado do passo anterior.]

Resposta

\displaystyle \text{span}(A)=\{\, s(-1,3,2)+t(2,-2,0)\mid s,t\in\mathbb{R}\,\} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y-z=0\}
Base: \{(-1,3,2),(2,-2,0)\}. Dimensão: 2.

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