Determinar m, n para que se tenha:
a) (m, n, 2) cdot(4,-1,3)=-2
b) (m, n, 2) times(4,-1,3)=(8,-1,-11)
c) (m, n, 2) cdot((3,1,2) times(0,1,-1))=9

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de m e n que satisfazem três condições envolvendo produto escalar e vetorial em R^3:
  • (a) um produto escalar com (4,-1,3),
  • (b) um produto vetorial com (4,-1,3),
  • (c) um produto escalar com o resultado de um produto vetorial entre (3,1,2) e (0,1,-1).
    Vamos usar a definição de produto escalar
(a1,a2,a3)cdot(b1,b2,b3)=a1b1+a2b2+a3b3
e a de produto vetorial via determinante
(a1,a2,a3)times(b1,b2,b3) =l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r)

Passo 2

(a) Queremos
(m,n,2)cdot(4,-1,3)=-2
Pelo produto escalar,
(m,n,2)cdot(4,-1,3) =4m +(-1),n +3cdot2 =4m -n +6
Impondo 4m -n +6=-2, temos
4m -n =-8 Longrightarrow n =4m +8

Passo 3

(b) Queremos
(m,n,2)times(4,-1,3)=(8,-1,-11)
Pelo produto vetorial,
(m,n,2)times(4,-1,3) =l(ncdot3 -2cdot(-1),;2cdot4 -mcdot3,;mcdot(-1)-ncdot4r)
Simplificando cada componente:
  1. 3n+2
  2. 8-3m
  3. -m -4n
Igualando a (8,-1,-11) dá o sistema
3n+2=8, 8-3m=-1, -m-4n=-11
Da primeira equação 3n=6Rightarrow n=2.
Da segunda 8-3m=-1Rightarrow3m=9Rightarrow m=3.
Verificando a terceira: -3-4cdot2=-3-8=-11, ok.

Passo 4

(c) Primeiro calculamos (3,1,2)times(0,1,-1). Usando a fórmula:
(3,1,2)times(0,1,-1) =l(1cdot(-1)-2cdot1,;2cdot0-3cdot(-1),;3cdot1-1cdot0r) =(-1-2,;0+3,;3) =(-3,3,3)
Agora impomos
(m,n,2)cdot(-3,3,3)=9
Isso é
-3m+3n+2cdot3=-3m+3n+6=9 Longrightarrow -3m+3n=3 Longrightarrow -n+m=-1
ou seja
n = m+1

Resposta

a) n=4m+8
b) m=3,;n=2
c) n=m+1

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