(1 ponto) 7ô vetores
e
são tais que verificam as relações
e
. Prove que, nessas condições, os vetores
e
são LD.
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em
,
, que satisfazem
Queremos mostrar que
e
são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o fato de que dois vetores em
são colineares (e portanto LD) se, e somente se, seu produto vetorial for o vetor nulo.
Passo 2
Calculemos o produto vetorial
Usamos a distributividade do produto vetorial:
Passo 3
Aplicamos as hipóteses e a anti-comutatividade
:
- Como
, temos - Como
, temos
Passo 4
Substituindo no somatório do produto vetorial,
Como o produto vetorial é o vetor nulo, concluímos que
e
são colineares.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes.