(1 ponto) 7ô vetores a, b, c e d são tais que verificam as relações b times a=d times c e c times a=d times b. Prove que, nessas condições, os vetores d+a e c+b são LD.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3, a,b,c,d, que satisfazem
btimes a=dtimes c e ctimes a=dtimes b
Queremos mostrar que d+a e c+b são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o fato de que dois vetores em R^3 são colineares (e portanto LD) se, e somente se, seu produto vetorial for o vetor nulo.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial
(d+a)times(c+b)
Usamos a distributividade do produto vetorial:
(d+a)times(c+b) =dtimesc +dtimesb +atimesc +atimesb

Passo 3

Aplicamos as hipóteses e a anti-comutatividade utimesv=-,vtimesu:
  • Como btimesa=dtimesc, temos atimesb=-,btimesa =-,l(dtimescr)
  • Como ctimesa=dtimesb, temos atimesc=-,ctimesa =-,l(dtimesbr)

Passo 4

Substituindo no somatório do produto vetorial,
(d+a)times(c+b) &=dtimesc +dtimesb -l(dtimesbr) -l(dtimescr) &=0
Como o produto vetorial é o vetor nulo, concluímos que d+a e c+b são colineares.

Resposta

Os vetores d+a e c+b são linearmente dependentes.

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