(0.5 ponto) 89, Sabendo que a times b+b times c+c times a=O prove que os vetores a, b e c são LD.

Passo 1

O enunciado diz que\r
atimesb+btimesc+ctimesa=O, \r
e pede para provar que a,b,c são linearmente dependentes. O conteúdo envolvido é produto vetorial e produto escalar, e vamos usar a definição de produto misto (ou triplo escalar) e seu vínculo com dependência linear em R^3.

Passo 2

Lembramos que o produto misto de três vetores é\r
[a,b,c]=acdot(btimesc), \r
e que [a,b,c]=0 se e somente se a,b,c são coplanares, isto é, linearmente dependentes em R^3.

Passo 3

Fazemos o produto escalar da relação dada com a:\r
acdotl(atimesb+btimesc+ctimesar) =0 \r
Como acdot(atimesb)=0 e acdot(ctimesa)=0, sobra\r
acdot(btimesc)=[a,b,c]=0

Passo 4

Da propriedade do produto misto, [a,b,c]=0 implica que a,b,c são coplanares, logo são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores a,b e c são linearmente dependentes.

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