Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
ou seja, encontrar todos os pares
com
que satisfazem essa igualdade. Informação dada:
- Coeficientes:
(multiplicando ) e (multiplicando ); - Termo independente:
; - Incógnitas:
inteiros.
O objetivo é listar a descrição geral (paramétrica) de todos os pares inteirosque resolvem a equação.
Passo 2
Pequena aula rápida (útil para qualquer equação linear
):
- Definição: uma equação diofantina linear tem a forma
com inteiros e pede soluções inteiras . - Condição de existência: seja
. A equação tem solução inteira se, e só se, divide (isto é, ). - Se existe uma solução particular
, então todas as soluções inteiras são dadas por
onde
. Aqui
. Explicando as variáveis:
-
e são os coeficientes originais; -
é o maior divisor comum de e ; -
é qualquer solução inteira particular; -
é um parâmetro inteiro que gera todas as soluções a partir de .
Essa fórmula vem de reescrever a equação depois de subtrair a solução particular e dividir por; não é necessário decorar o porquê agora, só usar com calma.
Passo 3
Aplicando à nossa equação:
,
. Primeiro calculamos
(note que
).
Usando o algoritmo de Euclides:
Usando o algoritmo de Euclides:
Logo
. Como
e
divide
, existe solução inteira (na verdade existe infinidade).
Passo 4
Vamos achar uma solução particular de maneira simples (método modular, que é prático em provas):
Reduza a equação módulo . Como
, da equação
Reduza a equação módulo
segue
Calcule resíduos:
e
. Então
Isto significa que existe um inteiro
tal que
Agora substituímos
na equação original:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
(isso é válido porque
divide o lado esquerdo explicitamente):
Isolando
:
Portanto, para todo
obtemos uma solução inteira
. Isso produz todas as soluções porque já usamos o fato de que
é obrigatório e então determinamos
unicamente a partir de
.
Passo 5
Verificação rápida com exemplos (pra te deixar mais confiante):
- Se
: , . Verificar: ok. - Se
: , . Verificar: ok. - Se
: , . Verificar: ok.
Esses exemplos confirmam a fórmula e mostram que varrendoobtemos todas as soluções inteiras.