Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
\left(x^{2}-4\right)^{\frac{-1}{2}}+x \cdot\left(\frac{-1}{2}\right) \cdot\left(x^{2}-4\right)^{\frac{-3}{2}} \cdot(2 x) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade
\left(x^{2}-4\right)^{\frac{-1}{2}}+x\cdot\left(\frac{-1}{2}\right)\cdot\left(x^{2}-4\right)^{\frac{-3}{2}}\cdot(2x)\geq 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve potências \left(x^{2}-4\right)^{-1/2} e \left(x^{2}-4\right)^{-3/2}, ou seja, há raízes com expoente -1/2 e -3/2 (denominadores com raiz).
  • Precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a desigualdade verdadeira (ou seja, o conjunto de soluções, expresso em intervalos).
  • Não há mais dados externos (nem figura). Vou usar apenas a expressão dada.

Passo 2

Identificar o domínio da expressão (passo obrigatório antes de resolver qualquer desigualdade que envolva raízes ou denominadores).
  • Temos potências com expoente fracionário negativo: \left(x^{2}-4\right)^{-1/2} e \left(x^{2}-4\right)^{-3/2}. Para essas expressões terem sentido real, o radicando deve ser estritamente positivo:
x^{2}-4>0.
  • Resolver x^{2}-4>0. Note que x^{2}-4=(x-2)(x+2). A inequação é positiva fora das raízes:
x<-2\quad\text{ou}\quad x>2.
  • Portanto a expressão só está definida para x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty). Pontos x=\pm2 não pertencem ao domínio.

Passo 3

Reconhecer estrutura da expressão e explicar as regras de diferenciação usadas (isso vai facilitar a simplificação):
  • Observação útil: a expressão dada é exatamente a derivada de
g(x)=x\cdot\left(x^{2}-4\right)^{-1/2}.
Para ver isso usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (u v)'=u'v+u v'.
  • Regra da cadeia: se h(x)=\varphi(u(x)), então h'(x)=\varphi'(u(x))\cdot u'(x).
  • Vamos calcular g'(x) passo a passo e mostrar que coincide com a expressão da desigualdade (é bom fazer isso porque a forma derivada costuma simplificar bastante).

Passo 4

Calcular g'(x) com detalhes (aplicando produto + cadeia):
  • Tome u(x)=x e v(x)=\left(x^{2}-4\right)^{-1/2}. Então u'(x)=1.
  • Para v'(x) usamos a cadeia: se \varphi(t)=t^{-1/2} então \varphi'(t)=-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}. Com t=x^{2}-4 obtemos t'=2x. Logo
v'(x)=\varphi'(t)\cdot t'=-\tfrac{1}{2}\left(x^{2}-4\right)^{-3/2}\cdot(2x)=-x\left(x^{2}-4\right)^{-3/2}.
  • Aplicando a regra do produto:
g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(x^{2}-4\right)^{-1/2}+x\cdot\bigl(-x\left(x^{2}-4\right)^{-3/2}\bigr).
  • Simplificando o segundo termo:
g'(x)=\left(x^{2}-4\right)^{-1/2}-x^{2}\left(x^{2}-4\right)^{-3/2}.
Isto é exatamente a expressão da desigualdade (confere com o enunciado).

Passo 5

Simplificar g'(x) por fator comum e reduzir para forma mais clara:
  • Coloco \left(x^{2}-4\right)^{-3/2} em evidência (pois é o menor expoente):
g'(x)=\left(x^{2}-4\right)^{-3/2}\Bigl((x^{2}-4)-x^{2}\Bigr).
  • Calcule a diferença no parêntese:
(x^{2}-4)-x^{2}=-4.
  • Portanto
g'(x)=-4\left(x^{2}-4\right)^{-3/2}=\frac{-4}{\left(x^{2}-4\right)^{3/2}}.

Passo 6

Analisar o sinal de g'(x) no domínio (-\infty,-2)\cup(2,\infty) e concluir sobre a desigualdade:
  • No domínio temos x^{2}-4>0. Assim \left(x^{2}-4\right)^{3/2}>0.
  • O numerador é -4, que é estritamente negativo.
  • Logo para todo x do domínio
g'(x)=\frac{-4}{\left(x^{2}-4\right)^{3/2}}<0.
  • Isso significa que g'(x) é sempre negativo onde a expressão está definida; nunca é zero nem positivo em (-\infty,-2)\cup(2,\infty).
  • Como a desigualdade pede g'(x)\geq 0, não existe x no domínio que satisfaça a desigualdade.
  • Lembrando que x=\pm2 não pertencem ao domínio, logo não podem ser soluções.

Resposta

\varnothing

Exercícios relacionados