Determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfaçam a desigualdade
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve potências
e , ou seja, há raízes com expoente e (denominadores com raiz). - Precisamos encontrar todos os
que tornam a desigualdade verdadeira (ou seja, o conjunto de soluções, expresso em intervalos). - Não há mais dados externos (nem figura). Vou usar apenas a expressão dada.
Passo 2
Identificar o domínio da expressão (passo obrigatório antes de resolver qualquer desigualdade que envolva raízes ou denominadores).
- Temos potências com expoente fracionário negativo:
e . Para essas expressões terem sentido real, o radicando deve ser estritamente positivo:
- Resolver
. Note que . A inequação é positiva fora das raízes:
- Portanto a expressão só está definida para
. Pontos não pertencem ao domínio.
Passo 3
Reconhecer estrutura da expressão e explicar as regras de diferenciação usadas (isso vai facilitar a simplificação):
- Observação útil: a expressão dada é exatamente a derivada de
Para ver isso usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia: se
, então . - Vamos calcular
passo a passo e mostrar que coincide com a expressão da desigualdade (é bom fazer isso porque a forma derivada costuma simplificar bastante).
Passo 4
Calcular
com detalhes (aplicando produto + cadeia):
- Tome
e . Então . - Para
usamos a cadeia: se então . Com obtemos . Logo
- Aplicando a regra do produto:
- Simplificando o segundo termo:
Isto é exatamente a expressão da desigualdade (confere com o enunciado).
Passo 5
Simplificar
por fator comum e reduzir para forma mais clara:
- Coloco
em evidência (pois é o menor expoente):
- Calcule a diferença no parêntese:
- Portanto
Passo 6
Analisar o sinal de
no domínio
e concluir sobre a desigualdade:
- No domínio temos
. Assim . - O numerador é
, que é estritamente negativo. - Logo para todo
do domínio
- Isso significa que
é sempre negativo onde a expressão está definida; nunca é zero nem positivo em . - Como a desigualdade pede
, não existe no domínio que satisfaça a desigualdade. - Lembrando que
não pertencem ao domínio, logo não podem ser soluções.