Considere a curva C definida pela equação paramétrica x(t)=e^{t} e y(t)=e^{2 t}, em que t varia no intervalo -\infty \leq t \leq 1.
a) Há intersecção da curva C com o eixo x ? Se sim, em quais pontos? Se não, justifique sua resposta.
b) Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva C, o eixo x, e as linhas verticais x=0 e x=1, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a curva C por paramétricas
x(t)=e^{t},\qquad y(t)=e^{2t},
com t variando em -\infty\le t\le 1. Perguntas:
(a) A curva intersecta o eixo x (ou seja, existe ponto da curva com y=0)? Em caso afirmativo, quais pontos?
(b) Qual o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pela curva C, pelo eixo x e pelas retas verticais x=0 e x=1 em torno do eixo x?
Informações relevantes dadas:
  • As fórmulas paramétricas acima.
  • Intervalo de t: -\infty\le t\le 1.
  • As retas verticais que delimitam a região são x=0 e x=1.
  • A rotação é em torno do eixo x.

Passo 2

Transformar a curva de paramétrica para equação cartesiana (vai facilitar visualizar interseções e a função a ser rotacionada). Da primeira equação temos
x=e^{t}.
Tomando logaritmo natural, quando x>0,
t=\ln x.
Substituindo em y=e^{2t} obtemos
y=e^{2\ln x}.
Usando a identidade e^{2\ln x}=(e^{\ln x})^{2}=x^{2}, concluímos que a curva em coordenadas cartesianas é
y=x^{2},
restrita à parte com x>0 obtida a partir dos valores de t considerados. Aqui cada variável significa:
  • x e y são coordenadas cartesianas usuais;
  • t é o parâmetro original, relacionado a x por x=e^{t}.

Passo 3

Responder (a): interseção com o eixo x.
Um ponto da curva pertence ao eixo x se e somente se sua coordenada y for 0. Pela expressão paramétrica temos y=e^{2t}. Observe que para todo t\in\mathbb{R} vale e^{2t}>0. Portanto não existe t\in\mathbb{R} tal que y=0. Conclusão: a curva não cruza o eixo x.
Complemento importante (para evitar confusão): quando t\to -\infty temos x=e^{t}\to 0^{+} e y=e^{2t}\to 0^{+}, isto é, a curva se aproxima do ponto (0,0) quando t\to -\infty, mas não atinge (0,0) para nenhum t finito. Não existe t=-\infty válido como ponto da curva; por isso não há interseção.

Passo 4

Identificar a porção da curva que delimita a região entre x=0 e x=1.
Como x=e^{t}, o valor x=1 corresponde a t=0. O limite x\to 0^{+} corresponde a t\to -\infty. Assim a porção da curva entre x=0 e x=1 corresponde ao parâmetro t\in(-\infty,0] e, em coordenadas cartesianas, é simplesmente o ramo da parábola y=x^{2} para 0<x\le 1. A região pedida é a região no plano limitada por:
  • a curva y=x^{2} para 0\le x\le 1 (podemos incluir x=0 como fronteira vertical);
  • o eixo x (ou seja, y=0);
  • as retas verticais x=0 e x=1.

Passo 5

Escolher método para calcular o volume da rotação: método dos discos (ou “fatias”) é o mais direto aqui.
Ideia do método (explicação didática): ao girar a região entre a curva y=f(x) e o eixo x em torno do eixo x, cada fatia vertical de espessura dx em posição x gera um disco de raio igual a y=f(x). A área dessa seção transversal é \pi vezes o raio ao quadrado. Portanto o volume elemental gerado por essa fatia é
dV=\text{(área da seção)}\cdot dx=\pi\big(f(x)\big)^{2}dx.áçã
Somando (integrando) essas fatias de x=a até x=b obtemos
V=\pi\int_{a}^{b}\big(f(x)\big)^{2}dx.
Aqui f(x)=x^{2}, a=0 e b=1.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Substituindo f(x)=x^{2} na integral de volume:
V=\pi\int_{0}^{1}\big(x^{2}\big)^{2}dx=\pi\int_{0}^{1}x^{4}dx.
Explicação do cálculo da integral: para n\neq -1 vale a primitiva \displaystyle\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=4, logo uma primitiva de x^{4} é \dfrac{x^{5}}{5}.

Passo 7

Avaliar a integral definida usando a primitiva:
V=\pi\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac{1^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5}\right)=\pi\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{5}.
Interpretação rápida: o sólido gerado tem volume \dfrac{\pi}{5} unidades cúbicas.

Resposta

(a) Não. A curva não intercepta o eixo x (tem y=e^{2t}>0 para todo t; aproxima-se de (0,0) quando t\to-\infty, mas não o atinge).
(b) \dfrac{\pi}{5}

Exercícios relacionados