Considere a curva
definida pela equação paramétrica
e
, em que
varia no intervalo
.
a) Há intersecção da curva
com o eixo
? Se sim, em quais pontos? Se não, justifique sua resposta.
b) Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva
, o eixo
, e as linhas verticais
e
, em torno do eixo
.
a) Há intersecção da curva
b) Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva
Passo 1
O enunciado dá a curva
por paramétricas
com
variando em
. Perguntas:
(a) A curva intersecta o eixo (ou seja, existe ponto da curva com
)? Em caso afirmativo, quais pontos?
(b) Qual o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pela curva , pelo eixo
e pelas retas verticais
e
em torno do eixo
?
(a) A curva intersecta o eixo
(b) Qual o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pela curva
Informações relevantes dadas:
- As fórmulas paramétricas acima.
- Intervalo de
: . - As retas verticais que delimitam a região são
e . - A rotação é em torno do eixo
.
Passo 2
Transformar a curva de paramétrica para equação cartesiana (vai facilitar visualizar interseções e a função a ser rotacionada). Da primeira equação temos
Tomando logaritmo natural, quando
,
Substituindo em
obtemos
Usando a identidade
, concluímos que a curva em coordenadas cartesianas é
restrita à parte com
obtida a partir dos valores de
considerados. Aqui cada variável significa:
-
e são coordenadas cartesianas usuais; -
é o parâmetro original, relacionado a por .
Passo 3
Responder (a): interseção com o eixo
.
Um ponto da curva pertence ao eixo se e somente se sua coordenada
for
. Pela expressão paramétrica temos
. Observe que para todo
vale
. Portanto não existe
tal que
. Conclusão: a curva não cruza o eixo
.
Um ponto da curva pertence ao eixo
Complemento importante (para evitar confusão): quando
temos
e
, isto é, a curva se aproxima do ponto
quando
, mas não atinge
para nenhum
finito. Não existe
válido como ponto da curva; por isso não há interseção.
Passo 4
Identificar a porção da curva que delimita a região entre
e
.
Como , o valor
corresponde a
. O limite
corresponde a
. Assim a porção da curva entre
e
corresponde ao parâmetro
e, em coordenadas cartesianas, é simplesmente o ramo da parábola
para
. A região pedida é a região no plano limitada por:
Como
- a curva
para (podemos incluir como fronteira vertical); - o eixo
(ou seja, ); - as retas verticais
e .
Passo 5
Escolher método para calcular o volume da rotação: método dos discos (ou “fatias”) é o mais direto aqui.
Ideia do método (explicação didática): ao girar a região entre a curva e o eixo
em torno do eixo
, cada fatia vertical de espessura
em posição
gera um disco de raio igual a
. A área dessa seção transversal é
vezes o raio ao quadrado. Portanto o volume elemental gerado por essa fatia é
Ideia do método (explicação didática): ao girar a região entre a curva
Somando (integrando) essas fatias de
até
obtemos
Aqui
,
e
.
Passo 6
Aplicar a fórmula ao nosso caso. Substituindo
na integral de volume:
Explicação do cálculo da integral: para
vale a primitiva
. Aqui
, logo uma primitiva de
é
.
Passo 7
Avaliar a integral definida usando a primitiva:
Interpretação rápida: o sólido gerado tem volume
unidades cúbicas.
Resposta
(a) Não. A curva não intercepta o eixo
(tem
para todo
; aproxima-se de
quando
, mas não o atinge).
(b)
(b)