Resolva as equações em R: \left|x^{2}-3 x-1\right|=3
Passo 1
O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\left|x^{2}-3x-1\right|=3.
Informações dadas: a expressão dentro do valor absoluto é \;x^{2}-3x-1\; e o valor absoluto dessa expressão é igual a \;3\;. A pergunta é: quais são todos os números reais x que satisfazem essa igualdade?
Passo 2
Ideia básica (regra do valor absoluto): se temos uma igualdade do tipo \left|A\right|=k com k\ge 0, isso equivale a duas possibilidades simultâneas:
A=k\quad\text{ou}\quad A=-k.
Explicando de forma concreta: o valor absoluto mede a distância até zero, então para que a distância de A até zero seja k, A pode estar em +k ou em -k. Aplicamos isso com A=x^{2}-3x-1 e k=3.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso problema obtemos duas equações quadráticas:
\text{(i)}\quad x^{2}-3x-1=3,
\text{(ii)}\quad x^{2}-3x-1=-3.
Agora vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 4
Resolver a equação (i). Primeiro transformamos em forma padrão:
x^{2}-3x-1-3=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}-3x-4=0.
Esta é uma equação quadrática da forma \;ax^{2}+bx+c=0\; com a=1, b=-3, c=-4.
Lembrete da fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): as raízes de \;ax^{2}+bx+c=0\; são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante. Aqui a=1, b=-3, c=-4, então
Verificação rápida (útil na prova): substituímos cada solução encontrada na expressão original para garantir que não houve erro.
Para x=-1: \;x^{2}-3x-1=1+3-1=3\Rightarrow |3|=3 OK.
Para x=1: \;1-3-1=-3\Rightarrow |-3|=3 OK.
Para x=2: \;4-6-1=-3\Rightarrow |-3|=3 OK.
Para x=4: \;16-12-1=3\Rightarrow |3|=3 OK.
Portanto todas as quatro raízes são soluções válidas.