Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de
tais que
. O conteúdo é inequação racional e vamos precisar usar expressão única e estudar sinais de numerador e denominador.
Passo 2
Começamos colocando tudo em um único lado:
Agora vamos escrever em forma de fração só, colocando 4 sobre o mesmo denominador
Simplificando o numerador:
Então a inequação virou:
Passo 3
Precisamos achar os pontos críticos onde numerador ou denominador mudam de sinal. São:
- Numerador zero em
. - Denominador zero em
(ali não pode ter valor).
Passo 4
Dividimos a reta real em três intervalos:
,
e
, e testamos o sinal de
em cada um.
Para :
• ⇒
.
• .
Então a fração é , satisfaz
.
Para :
• ⇒
.
• .
Então , não satisfaz.
Para :
• ⇒
.
• .
Então , satisfaz.
Para
•
•
Então a fração é
Para
•
•
Então
Para
•
•
Então
Passo 5
Conclusão: a solução é
.
Grafico no eixo real: marcar bolinha aberta em 3 e em 4 e sombrear toda a região à esquerda de 3 e toda a região à direita de 4.
Grafico no eixo real: marcar bolinha aberta em 3 e em 4 e sombrear toda a região à esquerda de 3 e toda a região à direita de 4.
Resposta
(-\infty,3) \cup (4,\infty)