Dois lados de um triângulo são 4 metros e 5 metros, e o ângulo entre eles está crescendo a uma taxa de 0,06 radianos por segundo.
(a) Encontre a taxa segundo a qual está variando o comprimento do terceiro lado desse triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo é pi / 3.

Passo 1

Temos um triângulo com dois lados de comprimentos 4 m e 5 m e o ângulo $\theta$ entre eles crescendo a $.06$ rad/s. Queremos saber a taxa de variação do terceiro lado $c$ quando $\theta=\pi/3$. O conteúdo aqui envolve lei dos cossenos e derivação implícita (related rates).

Passo 2

Pela lei dos cossenos, o terceiro lado $c$ satisfaz
c
Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo $t$.

Passo 3

Derivando em relação a $t$, lembrando que $c$ depende de $t$ e $\theta$ depende de $t$:
t
Note que o sinal negativo de $-\sin(\theta)$ vem da derivada de $\cos(\theta)$.

Passo 4

Isolando $dc/dt$, obtemos
dc/dt

Passo 5

Para $\theta = \pi/3$, primeiro calculamos $c$:
theta = pi/3
Substituindo em $dc/dt$:
c

Resposta

A taxa de variação do terceiro lado é \(
\frac{dc}{dt} = \frac{0.6\sqrt{3}}{\sqrt{21}} \approx 0.227\ \mathrm{m/s}.
)

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