O raio de uma bola cresce à razão 3 cm / s. Determine a taxa de variação do volume da bola no instante em que o raio é 8 cm .

Passo 1

O enunciado pede para achar a taxa de variação do volume de uma bola em função do tempo, dado que o raio cresce a 3 cm/s. Esse é um problema de taxas relacionadas (related rates) aplicado ao volume de uma esfera, para o qual vamos precisar da expressão do volume e da regra da cadeia na derivação.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
V = 43pi r^3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t e aplicando a regra da cadeia, temos
dVdt = ddtl(tfrac43pi r^3r) = 4pi r^2 cdot drdt

Passo 3

No instante em que r = 8 cm e drdt = 3 cm/s, substituímos na fórmula derivada:
dVdt = 4pi,(8)^2cdot 3 = 768pi cm^3/s

Resposta

768pi cm^3/s

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