Um holofote sobre o chão ilumina uma parede que está a 12 m distante dele. Um homem de 2 m de altura anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,2 m / s. Nessa situação, quão rápido está decrescendo o comprimento da sombra do homem sobre a parede quando ele está a 4 m dela?

Passo 1

O enunciado diz que um holofote está no chão a 12 m de uma parede, um homem de 2 m de altura anda na direção da parede a 1,2 m/s, e queremos saber quão rápido a sombra dele na parede está diminuindo quando ele está a 4 m da parede. O conteúdo envolve taxas relacionadas e semelhança de triângulos.

Passo 2

Definimos as variáveis: seja x(t) a distância do homem ao holofote e y(t) a altura da sombra do homem na parede. Note que quando o homem está a 4 m da parede, tem-se x=12-4=8.

Passo 3

Pela semelhança dos triângulos formados pelo feixe de luz, temos a proporção entre a altura da sombra e a distância total até a parede igual à proporção entre a altura do homem e a distância até o homem:
y12=2x
Assim,
y=24x

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, usando derivada de potência:
dydt=-24,x^-2dxdt

Passo 5

O homem anda em direção à parede, ou seja, sua distância ao holofote aumenta, logo dx/dt=+1,2 m/s. Substituindo em dy/dt:
dydt=-24cdot x^-2cdot1,2

Passo 6

Por fim, quando x=8 m,
dydt=-24cdot8^-2cdot1,2=-28,864=-0,45 m/s
Isso mostra que a sombra está diminuindo a 0,45 m/s.

Passo 7

Portanto, a velocidade de variação do comprimento da sombra na parede é negativa, indicando decréscimo.

Resposta

-0,45 m/s

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