Um holofote sobre o chão ilumina uma parede que está a
distante dele. Um homem de
de altura anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de
. Nessa situação, quão rápido está decrescendo o comprimento da sombra do homem sobre a parede quando ele está a
dela?
Passo 1
O enunciado diz que um holofote está no chão a 12 m de uma parede, um homem de 2 m de altura anda na direção da parede a 1,2 m/s, e queremos saber quão rápido a sombra dele na parede está diminuindo quando ele está a 4 m da parede. O conteúdo envolve taxas relacionadas e semelhança de triângulos.
Passo 2
Definimos as variáveis: seja
a distância do homem ao holofote e
a altura da sombra do homem na parede. Note que quando o homem está a 4 m da parede, tem-se
.
Passo 3
Pela semelhança dos triângulos formados pelo feixe de luz, temos a proporção entre a altura da sombra e a distância total até a parede igual à proporção entre a altura do homem e a distância até o homem:
Assim,
Passo 4
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, usando derivada de potência:
Passo 5
O homem anda em direção à parede, ou seja, sua distância ao holofote aumenta, logo
. Substituindo em
:
Passo 6
Por fim, quando
m,
Isso mostra que a sombra está diminuindo a 0,45 m/s.
Passo 7
Portanto, a velocidade de variação do comprimento da sombra na parede é negativa, indicando decréscimo.