Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo.
3 x^2(x-5)^2-16 <= 0

Passo 1

A gente tem a desigualdade 3x^2(x-5)^2-16<=0. O conteúdo é inequação envolvendo função racional e vamos precisar de análise de sinais, além de checar o domínio da expressão.

Passo 2

Primeiro achar o domínio: o denominador não pode ser zero. (x-5)^2-16neq0 (x-5)^2=16 então x-5=pm4, isto é, x=1 ou x=9. Logo o domínio é Rsetminus1,9.

Passo 3

Agora identificar zeros e sinais de numerador e denominador. O numerador 3x^2 é sempre não negativo e zera em x=0. O denominador pode ser fatorado:
(x-5)^2-16=(x-9)(x-1)

Passo 4

Então o denominador é positivo para x<1 e x>9, e negativo em 1.

Passo 5

Para a fração ser <=0 ela pode ser negativa (numerador>0 e denominador<0) ou zero (numerador=0 e denominador\neq0).

Passo 6

Numerador>0 em xneq0. Denominador<0 em 1, então a fração é negativa em (1,9).

Passo 7

Numerador=0 só em x=0, e em x=0 o denominador é (0-5)^2-16=9neq0, então a fração vale zero em x=0.

Resposta

0cup(1,9)

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