Questão 6) (Valor: 1,2 ponto) Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=x^2+12 x^2-3 x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{2x^{2} - 3x - 2} $. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre funções racionais. As assíntotas verticais aparecem onde o denominador é zero (mas o numerador não), e as horizontais mostram como a função se comporta quando $ x $ vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as assíntotas verticais. Elas acontecem onde o denominador $ 2x^{2} - 3x - 2 $ é igual a zero. Então, precisamos resolver a equação:
2x^2 - 3x - 2

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática $ 2x^{2} - 3x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
2x^2 - 3x - 2 = 0
Assim, temos duas soluções:
x = 3 pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 2 cdot (-2)2 cdot 2 = 3 pm raiz9 + 164 = 3 pm 54

Passo 4

Portanto, as assíntotas verticais estão em:
x = 2 e x = -12

Passo 5

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, observamos o comportamento da função quando $ x $ vai para mais ou menos infinito. Como os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
x

Resposta

As assíntotas verticais são $ x = 2 $ e $ x = -\frac{1}{2} $, e a assíntota horizontal é $ y = \frac{1}{2} $.

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