Questão 6) (Valor: 1,2 ponto) Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{2x^{2} - 3x - 2} $. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre funções racionais. As assíntotas verticais aparecem onde o denominador é zero (mas o numerador não), e as horizontais mostram como a função se comporta quando $ x $ vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as assíntotas verticais. Elas acontecem onde o denominador $ 2x^{2} - 3x - 2 $ é igual a zero. Então, precisamos resolver a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ 2x^{2} - 3x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Passo 4
Portanto, as assíntotas verticais estão em:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para isso, observamos o comportamento da função quando $ x $ vai para mais ou menos infinito. Como os graus do numerador e do denominador são iguais (ambos 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Resposta
As assíntotas verticais são $ x = 2 $ e $ x = -\frac{1}{2} $, e a assíntota horizontal é $ y = \frac{1}{2} $.