Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade:
. Aqui, estamos lidando com frações algébricas e queremos descobrir para quais valores de
essa fração é maior ou igual a zero. Para isso, vamos precisar analisar os numerador e o denominador separadamente para entender quando a fração toda é positiva ou zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador:
. Sabemos que qualquer número ao quadrado (
) é sempre positivo ou zero, e se somarmos 1, o resultado nunca será zero. Portanto,
para todos os valores de
. Isso significa que o denominador nunca muda de sinal e sempre é positivo, então a fração dependerá apenas do sinal do numerador.
Passo 3
Agora, vamos analisar o numerador:
. Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a análise:
Novamente, vemos que
é sempre positivo. Portanto, o sinal do numerador será determinado apenas pelo fator
.
Passo 4
Com base na fatoração, temos:
Como
para todo
, a desigualdade depende de
. Então, a expressão será maior ou igual a zero quando
for positivo ou zero.
Passo 5
Resumindo:
- O denominador
é sempre positivo. - O numerador
é positivo quando .
Portanto, a fração
será maior ou igual a zero quando
.
Resposta
Todos os números reais maiores ou iguais a zero satisfazem a desigualdade. Em intervalo, isso é representado por: