Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo.
x^3+xx^2+1 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade: x^3 + xx^2 + 1 >= 0. Aqui, estamos lidando com frações algébricas e queremos descobrir para quais valores de x essa fração é maior ou igual a zero. Para isso, vamos precisar analisar os numerador e o denominador separadamente para entender quando a fração toda é positiva ou zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador: x^2 + 1. Sabemos que qualquer número ao quadrado ( x^2) é sempre positivo ou zero, e se somarmos 1, o resultado nunca será zero. Portanto, x^2 + 1 > 0 para todos os valores de x. Isso significa que o denominador nunca muda de sinal e sempre é positivo, então a fração dependerá apenas do sinal do numerador.

Passo 3

Agora, vamos analisar o numerador: x^3 + x. Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a análise:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Novamente, vemos que x^2 + 1 é sempre positivo. Portanto, o sinal do numerador será determinado apenas pelo fator x.

Passo 4

Com base na fatoração, temos:
x(x^2 + 1) >= 0
Como x^2 + 1 > 0 para todo x, a desigualdade depende de x >= 0. Então, a expressão será maior ou igual a zero quando x for positivo ou zero.

Passo 5

Resumindo:
  • O denominador x^2 + 1 é sempre positivo.
  • O numerador x^3 + x = x(x^2 + 1) é positivo quando x >= 0.
Portanto, a fração x^3 + xx^2 + 1 será maior ou igual a zero quando x >= 0.

Resposta

Todos os números reais maiores ou iguais a zero satisfazem a desigualdade. Em intervalo, isso é representado por:
x in [0, infty)

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