Determinar todos os vectores de V_{2} que são ortogonais a A e têm o mesmo comprimento que A se:
A=(1,2);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os vetores v\in V_{2} que sejam ortogonais a A=(1,2) e tenham o mesmo comprimento de A. Vamos usar dot product para ortogonalidade e norma euclidiana para o comprimento.

Passo 2

Seja v=(x,y). A condição de ortogonalidade é
\langle v,A\rangle = x\cdot1 + y\cdot2 = 0,
portanto
x + 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -2y.

Passo 3

A condição de mesmo comprimento é
\|v\| = \|A\| \;\Longrightarrow\; \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \;\Longrightarrow\; x^2 + y^2 = 5.
Substituindo x = -2y em x^2 + y^2 = 5 resulta em
(-2y)^2 + y^2 = 4y^2 + y^2 = 5y^2 = 5 \;\Longrightarrow\; y^2 = 1.

Passo 4

Daí y = \pm 1. Para y = 1 temos x = -2; para y = -1 temos x = 2. Assim, os vetores procurados são
(-2,1) \quad\text{e}\quad (2,-1).

Resposta

(-2,1) (2,-1)

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