Determinar todos os vectores de V_{2} que são ortogonais a A e têm o mesmo comprimento que A se:
A=(1,-2);

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os vetores de V_{2} que são ortogonais ao vetor A e têm o mesmo comprimento que A. Vamos usar produto escalar para a ortogonalidade e norma (comprimento) de vetores.

Passo 2

Seja v=(x,y). A condição de ortogonalidade a A=(1,-2) é
\langle v,A\rangle = x\cdot1 + y\cdot(-2) = x - 2y = 0.

Passo 3

A condição de mesmo comprimento exige
\|v\|^{2} = \|A\|^{2}.
Como \|v\|^{2}=x^{2}+y^{2} e \|A\|^{2}=1^{2}+(-2)^{2}=5, temos
x^{2}+y^{2}=5.

Passo 4

Da equação x-2y=0 segue x=2y. Substituindo em x^{2}+y^{2}=5 obtém-se
(2y)^{2}+y^{2}=5 \quad\Longrightarrow\quad 5y^{2}=5 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm1.
Assim x=2y x=\pm2.

Passo 5

Os vetores que satisfazem ambas as condições são
(2,1) \quad\text{e}\quad (-2,-1).

Resposta

(2,1) e (-2,-1)

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