Determinar o trabalho realizado pela força F(x, y)=(3 y^2+2,16 x) no deslocamento de uma partícula de (-1,0) a (1,0) ao longo da semi-elipse superior cuja equação é dada por 4 x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força
F(x,y) = l(3y^2 + 2,;16xr)
ao longo da semi-elipse superior de ,4x^2 + y^2 = 4 indo de (-1,0) até (1,0).
Isso é um problema de integral de linha
W = integralC Fcdotdr,
onde C é a curva indicada.

Passo 2

Verificamos se F é campo conservativo. Escrevendo
P(x,y)=3y^2+2, Q(x,y)=16x,
temos
partial Ppartial y=6y, partial Qpartial x=16,
e 6yneq16 em geral. Logo F não é conservativo e precisamos parametrizar C.

Passo 3

Uma parametrização da semi-elipse superior que vai de (-1,0) a (1,0) é
x(t) = -cos t, y(t)=2sin t, tin[0,pi]
Então
dx = sin t,dt, dy = 2cos t,dt

Passo 4

No parâmetro t,
y^2 = 4sin^2 t, P=3y^2+2=12sin^2 t+2, Q=16x=-16cos t
Portanto
Fcdotdr = P,dx + Q,dy =l(12sin^2 t+2r)sin t,dt +(-16cos t),2cos t,dt
=l(12sin^3 t + 2sin t - 32cos^2 tr)dt

Passo 5

Dividimos a integral:
W = integral0^pi l(12sin^3 t + 2sin t - 32cos^2 tr)dt = I1 + I2 + I3,
com
I1 = 12integral0^pi sin^3 t,dt = 12cdot43=16,
I2 = 2integral0^pi sin t,dt = 2cdot2=4,
I3 = -32integral0^pi cos^2 t,dt = -32cdotpi2 = -16pi

Passo 6

Somando os termos:
W = 16 + 4 - 16pi = 20 - 16pi

Resposta

20 - 16pi

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