Seja
integralC(y^2-x y) d x+lambda(x^2-4 x y) d y
a) Determine o valor de lambda para que a integral seja independente do caminho de integração.
b) Calculo o valor da integral ao longo da curva C: r(t)=(t, t^5), 0 <= t <= 1, para o valor de lambda encontrado no item a)

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
e pede:
a) o valor de para que essa integral seja independente do caminho (isto é, o campo seja conservativo);
b) o valor da integral ao longo de , , usando o encontrado.
Para resolver usamos a condição de exatidão (campo conservativo) em :
, onde
e .

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =2y - x,
partial Qpartial x =lambda,(2x - 4y)
Para exatidão precisamos de
2y - x = lambda,(2x - 4y)

Passo 3

Expandindo a igualdade obtemos
2y - x = 2lambda x - 4lambda y ;Longrightarrow; (-1 - 2lambda)x + (2 + 4lambda)y = 0
para todo x,y. Assim
-1 - 2lambda = 0 e 2 + 4lambda = 0
dão lambda = -tfrac12.

Passo 4

Com lambda=-tfrac12 o campo é conservativo. Vamos achar uma função potencial f(x,y) tal que
partial f/partial x = P e partial f/partial y = Q.
Integramos P em x:
f(x,y) =integral (y^2-xy),dx =xy^2 - x^2y2 + h(y),
onde h(y) é função de y só.

Passo 5

Impondo partial f/partial y = Q, temos
partial fpartial y =2xy - x^22 + h'(y) stackrel!= -x^22 + 2xy
Daí h'(y)=0, ou seja, h é constante. Podemos, então, tomar
f(x,y)=xy^2-x^2y2
como potencial.

Passo 6

Como a integral é independente do caminho, vale
integralCP,dx+Q,dy =fl(r(1)r)-fl(r(0)r)
Em t=1: r(1)=(1,1), logo
f(1,1)=1cdot1^2-1^2cdot12=12
Em t=0: r(0)=(0,0), então f(0,0)=0.
Logo a integral vale tfrac12.

Resposta

(a) lambda=-12
(b) 12

Exercícios relacionados