Seja
a) Determine o valor de
para que a integral seja independente do caminho de integração.
b) Calculo o valor da integral ao longo da curva
, para o valor de
encontrado no item a)
b) Calculo o valor da integral ao longo da curva
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
e pede:
a) o valor de para que essa integral seja independente do caminho (isto é, o campo seja conservativo);
b) o valor da integral ao longo de ,
, usando o
encontrado.
Para resolver usamos a condição de exatidão (campo conservativo) em :
, onde
e
.
a) o valor de
b) o valor da integral ao longo de
Para resolver usamos a condição de exatidão (campo conservativo) em :
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Para exatidão precisamos de
Passo 3
Expandindo a igualdade obtemos
para todo
. Assim
e
dão .
dão
Passo 4
Com
o campo é conservativo. Vamos achar uma função potencial
tal que
e
.
Integramos em
:
Integramos
onde
é função de
só.
Passo 5
Impondo
, temos
Daí
, ou seja,
é constante. Podemos, então, tomar
como potencial.
Passo 6
Como a integral é independente do caminho, vale
Em
:
, logo
Em
:
, então
.
Logo a integral vale .
Logo a integral vale
Resposta
(a)
(b)
(b)