Calcular integralC y d x-(y+x^2) d y, onde C é o arco da parábola y=2 x-x^2 percorrida no sentido horário, com o ponto inicial (0,0) e o ponto final (2,0). Esboce a curva C.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha da forma diferencial
omega = y,dx - l(y + x^2r),dy
ao longo do arco da parábola y=2x - x^2 que vai de (0,0) até (2,0), percorrido no sentido horário.
Conteúdo: line integral com parametrização de curva.
Esboço da curva C: é o arco acima do eixo x com raízes em (0,0) e (2,0) e vértice em l(1,1r), orientado de (0,0) para (2,0).

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t) = t, y(t) = 2t - t^2, tin[0,2]
Então
dx = x'(t),dt = 1,dt, dy = y'(t),dt = (2 - 2t),dt

Passo 3

Substituímos em
integralC y,dx - (y + x^2),dy =integral0^2l[y,x'(t) - l(y + x^2r),y'(t)r]dt
Aqui x=t e y=2t - t^2, então
y,x' = (2t - t^2)cdot1 = 2t - t^2,
(y + x^2),y' = l((2t - t^2)+t^2r),(2 - 2t) = (2t),(2 - 2t) = 4t -4t^2
Logo o integrando é
(2t - t^2) - (4t -4t^2) = 2t - t^2 -4t +4t^2 = -2t +3t^2

Passo 4

Calculamos
integral0^2(-2t +3t^2),dt = l[-t^2 + t^3r]0^2 = l(-4 +8r)-0 =4

Resposta

O valor do integral é 4.

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