Obtenha o limite.
lim t 0(raiz1+t-1t i+ t^3+2 tt^4+3 t^3+t j+tsen t k)

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função vetorial
limtto0gl(raiz1+t-1t,i ;+;t^3+2tt^4+3t^3+t,j;+;tsen t,kgr)
Vamos calcular cada componente separadamente usando propriedades de limites e limites clássicos.

Passo 2

Para a componente em i, aproveitamos a racionalização:
raiz1+t-1t =raiz1+t-1tcdotraiz1+t+1raiz1+t+1 =(raiz1+t)^2-1t,(raiz1+t+1) =tt,(raiz1+t+1) =1raiz1+t+1
Ao fazer tto0 obtemos
limtto0raiz1+t-1t =1raiz1+0+1 =12

Passo 3

Para a componente em j, fatoramos t em numerador e denominador:
t^3+2tt^4+3t^3+t =t,(t^2+2)t,(t^3+3t^2+1) =t^2+2t^3+3t^2+1
Fazendo tto0 restam apenas os termos constantes:
limtto0t^2+2t^3+3t^2+1 =21 =2

Passo 4

Para a componente em k usamos o limite clássico limtto0sen tt=1, logo
limtto0tsen t =l(limtto0sen ttr)^-1 =1^-1 =1

Resposta

limtto0gl(raiz1+t-1t,i+t^3+2tt^4+3t^3+t,j+tsen t,kgr) =12,i+2,j+1,k

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