Determinar as trajetórias isogonais às curvas segundo o ângulo
indicado.
Passo 1
O enunciado pede para achar as trajetórias isogonais da família de retas y = C x, ou seja, as curvas que cortam cada reta dessa família pelo ângulo constante θ = π/6. O conteúdo é “isogonalidade de famílias de curvas” e vamos precisar usar a fórmula do ângulo entre tangentes: tan θ = |(m1−m2)/(1+m1 m2)|.
Passo 2
Chamando p = dy/dx a inclinação da curva procurada e m = C a inclinação da reta, a condição de isogonalidade dá
Assumimos o sinal ± em frente a 1/√3 para englobar as duas famílias.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro C usamos C = y/x. Então
Resolvendo para p:
Passo 4
Como a equação é homogênea, definimos z = y/x. Então p = z + x dz/dx e substituímos:
Isolando dx e dz e separando variáveis obtemos
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Isso dá
Voltando a y = z x e substituindo k = ±1/√3, simplificamos para obter as trajetórias isogonais:
Passo 6
Resposta
As famílias de trajetórias isogonais são dadas implicitamente por
o que gera duas famílias, para os sinais + e – respectivamente.