Determinar as trajetórias isogonais às curvas segundo o ângulo theta indicado.
y=C x, theta=pi6

Passo 1

O enunciado pede para achar as trajetórias isogonais da família de retas y = C x, ou seja, as curvas que cortam cada reta dessa família pelo ângulo constante θ = π/6. O conteúdo é “isogonalidade de famílias de curvas” e vamos precisar usar a fórmula do ângulo entre tangentes: tan θ = |(m1−m2)/(1+m1 m2)|.

Passo 2

Chamando p = dy/dx a inclinação da curva procurada e m = C a inclinação da reta, a condição de isogonalidade dá
tanl(tfracpi6r)=1raiz3=l|p - C1 + p,Cr|
Assumimos o sinal ± em frente a 1/√3 para englobar as duas famílias.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro C usamos C = y/x. Então
p - yx1 + p,yx=k, k=pm1raiz3
Resolvendo para p:
p = yx + k1 - k,yx

Passo 4

Como a equação é homogênea, definimos z = y/x. Então p = z + x dz/dx e substituímos:
z + xdzdx = z + k1 - k z
Isolando dx e dz e separando variáveis obtemos
1 - k z1 + z^2,dz = kdxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral11+z^2dz - kintegralz1+z^2dz = kintegraldxx
Isso dá
arctan(z) - k2ln(1+z^2) = kln|x| + C
Voltando a y = z x e substituindo k = ±1/√3, simplificamos para obter as trajetórias isogonais:

Passo 6

arctanl(yxr) pm 12raiz3ln(x^2 + y^2) = constante

Resposta

As famílias de trajetórias isogonais são dadas implicitamente por
arctanl(yxr) pm 12raiz3lnl(x^2 + y^2r) = C,
o que gera duas famílias, para os sinais + e – respectivamente.

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