Determinar as trajetórias ortogonais às curvas.
(lemniscata)
Passo 1
Temos a família de curvas dada por
, que é a lemniscata de Bernoulli. O conteúdo aqui é trajetória ortogonal: vamos precisar diferenciar implicitamente em relação a
, encontrar
, trocar por seu recíproco negativo para ter a inclinação das ortogonais e, por fim, resolver essa nova equação diferencial.
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a
:
Simplificando e usando
para eliminar o parâmetro, chegamos a:
Passo 3
A inclinação das trajetórias ortogonais é o negativo do recíproco de
, ou seja:
Obtivemos assim a equação diferencial que define o campo de direções das ortogonais.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, reconhecemos que ela é homogênea em
e
. Fazemos a substituição
, implicando
. Após simplificar, obtemos:
Separamos variáveis:
Passo 5
Integrando cada lado com parcimônia (usando frações parciais no primeiro integral), vem:
Reorganizando e voltando à variável original
, obtemos a família das ortogonais em forma explícita.
Passo 6
Substituindo
e combinando logs, a solução geral das trajetórias ortogonais fica:
onde
é constante de integração.
Passo 7
Podemos reescrever de forma mais direta como
com
constante arbitrária, que de fato representa as curvas ortogonais à lemniscata original.
Resposta
(x^2 + y2)2 = C x y