Determinar as trajetórias ortogonais às curvas.
(x^2+y^2)^2=(x^2-y^2) a^2 (lemniscata)

Passo 1

Temos a família de curvas dada por (x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)a^2, que é a lemniscata de Bernoulli. O conteúdo aqui é trajetória ortogonal: vamos precisar diferenciar implicitamente em relação a x, encontrar y', trocar por seu recíproco negativo para ter a inclinação das ortogonais e, por fim, resolver essa nova equação diferencial.

Passo 2

Diferenciando implicitamente (x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)a^2 em relação a x:
2(x^2 + y^2),2(x + y y') = a^2igl(2x - 2y y'r) 
Simplificando e usando a^2 = (x^2 + y^2)^2x^2 - y^2 para eliminar o parâmetro, chegamos a:
y' = x(3y^2 - x^2)y(3x^2 - y^2)

Passo 3

A inclinação das trajetórias ortogonais é o negativo do recíproco de y', ou seja:
dydx = -y(3x^2 - y^2)x(3y^2 - x^2)
Obtivemos assim a equação diferencial que define o campo de direções das ortogonais.

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, reconhecemos que ela é homogênea em x e y. Fazemos a substituição y = ux, implicando dy/dx = u + x,du/dx. Após simplificar, obtemos:
dudx = -2u(1 + u^2)(3u^2 - 1)x
Separamos variáveis:
integral 3u^2 - 1u(1 + u^2),du = -2integral dxx

Passo 5

Integrando cada lado com parcimônia (usando frações parciais no primeiro integral), vem:
-ln|u| + 2ln(1 + u^2) = -2ln|x| + C
Reorganizando e voltando à variável original y/x = u, obtemos a família das ortogonais em forma explícita.

Passo 6

Substituindo u = y/x e combinando logs, a solução geral das trajetórias ortogonais fica:
(x^2 + y^2)^2x,y = tilde C,
onde tilde C é constante de integração.

Passo 7

Podemos reescrever de forma mais direta como
(x^2 + y^2)^2 = C,x,y,
com C constante arbitrária, que de fato representa as curvas ortogonais à lemniscata original.

Resposta

(x^2 + y2)2 = C x y

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