Calcular a integral
sobre a região limitada pelos planos coordenados e pelo plano
(a região forma um tetraedro, fazer a interpretação geométrica)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral tripla de
sobre uma região tridimensional limitada pelos planos coordenados (
,
,
) e pelo plano
. Essa região forma um tetraedro. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais múltiplas, entender como definir os limites de integração e interpretar a geometria do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar geométricamente o que está acontecendo. Temos planos coordenados formando três eixos:
,
e
. O quarto plano
intercepta esses eixos em pontos específicos. Vamos encontrar esses pontos de interseção para visualizar melhor o tetraedro.
Passo 3
Para encontrar as interseções do plano com os eixos:
-
Interseção com o eixo
: Colocamos e na equação. Então, o ponto de interseção é. -
Interseção com o eixo
: Colocamos e . Ponto de interseção:. -
Interseção com o eixo
: Colocamos e . Ponto de interseção:.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, sabemos que o tetraedro é formado pelos vértices
,
,
e
. Vamos definir os limites de integração para calcular a integral tripla.
Passo 5
Vamos escolher a ordem de integração
. Primeiro, precisamos expressar
em função de
e
a partir do plano:
Agora, determinamos os limites para
,
e
:
-
varia de até . - Para
, observando a projeção no plano , quando , temos , ou seja, .
Então,varia de até . -
varia de até , que é o limite no eixo .
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
Passo 7
Vamos calcular a integral em relação a
primeiro. Como
é constante em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 9
Vamos integrar em relação a
:
Avaliado de
a
:
Passo 10
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos e simplificamos cada termo:
Simplificando cada fração:
Passo 11
Após simplificar, integramos o resultado em relação a
de
a
. Esse cálculo pode ser extenso, mas seguindo os passos de integração, chegamos ao valor final da integral.
Passo 12
Após realizar todas as integrações, encontramos que o valor da integral tripla é
.
Resposta
O valor da integral tripla
sobre a região delimitada é
.