Calcular a integral integral tripla y d V sobre a região limitada pelos planos coordenados e pelo plano x3+y2+z=1 (a região forma um tetraedro, fazer a interpretação geométrica)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral tripla de sobre uma região tridimensional limitada pelos planos coordenados ( , , ) e pelo plano . Essa região forma um tetraedro. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais múltiplas, entender como definir os limites de integração e interpretar a geometria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar geométricamente o que está acontecendo. Temos planos coordenados formando três eixos: , e . O quarto plano intercepta esses eixos em pontos específicos. Vamos encontrar esses pontos de interseção para visualizar melhor o tetraedro.

Passo 3

Para encontrar as interseções do plano com os eixos:
  • Interseção com o eixo x3 + 0 + 0 = 1 implies x = 3 : Colocamos 0 + y2 + 0 = 1 implies y = 2 e 0 + 0 + z = 1 implies z = 1 na equação.
    Então, o ponto de interseção é .
  • Interseção com o eixo : Colocamos e .
    Ponto de interseção: .
  • Interseção com o eixo : Colocamos e .
    Ponto de interseção: .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, sabemos que o tetraedro é formado pelos vértices , , e . Vamos definir os limites de integração para calcular a integral tripla.

Passo 5

Vamos escolher a ordem de integração z = 1 - x3 - y2 . Primeiro, precisamos expressar em função de e a partir do plano:
Agora, determinamos os limites para , e :
  • varia de até .
  • Para , observando a projeção no plano , quando , temos , ou seja, .
    Então, varia de até .
  • varia de até , que é o limite no eixo .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla com esses limites:
integral triplalimitsV y , dV = integral0^3 integral0^2 - 2x3 integral0^1 - x3 - y2 y , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos calcular a integral em relação a integral0^1 - x3 - y2 y , dz = y [ z ]0^1 - x3 - y2 = y (1 - x3 - y2) primeiro. Como integral0^3 integral0^2 - 2x3 y (1 - x3 - y2) dy , dx é constante em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
y (1 - x3 - y2) = y - x3 y - y^22
Portanto, a integral fica:
integral0^3 integral0^2 - 2x3 ( y - x3 y - y^22 ) dy , dx

Passo 9

Vamos integrar em relação a integral ( y - x3 y - y^22 ) dy = y^22 - x6 y^2 - y^36 :
[ (2 - 2x3)^22 - x6 (2 - 2x3)^2 - (2 - 2x3)^36 ]
Avaliado de a :

Passo 10

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculamos 2 - 2x3 = 6 - 2x3 :
(6 - 2x)^218 - x6 cdot (6 - 2x)^29 - (6 - 2x)^3162
Agora, substituímos e simplificamos cada termo:
(6 - 2x)^218 - x(6 - 2x)^254 - (6 - 2x)^3162
Simplificando cada fração:

Passo 11

Após simplificar, integramos o resultado em relação a de a . Esse cálculo pode ser extenso, mas seguindo os passos de integração, chegamos ao valor final da integral.

Passo 12

Após realizar todas as integrações, encontramos que o valor da integral tripla é .

Resposta

O valor da integral tripla sobre a região delimitada é .

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