Integrar as equações diferenciais
y^prime prime=a^2 y

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem dada por y’’ = a^2 y. Esse é um caso de EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver vamos usar o método da equação característica, que exige assumir uma solução do tipo exponencial.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y = e^{r x}. Então temos y’ = r e^{r x} e y’’ = r^2 e^{r x}. Substituindo em y’’ - a^2 y = 0, obtemos:
r^2 e^r x - a^2 e^r x = 0
Como e^{r x} ≠ 0, a parte relevante é a equação característica:
r^2 - a^2 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 - a^2 = 0 temos r^2 = a^2, logo r = a ou r = -a. Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é uma combinação linear das exponenciais correspondentes.

Passo 4

Portanto, a solução geral é dada por y(x) = C_1 e^{a x} + C_2 e^{-a x}, onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

Resposta

y(x) = C_1 e^{a x} + C_2 e^{-a x}

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