Integrar as equações diferenciais
Passo 1
Temos a equação diferencial de segunda ordem dada por y’’ = a^2 y. Esse é um caso de EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver vamos usar o método da equação característica, que exige assumir uma solução do tipo exponencial.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma y = e^{r x}. Então temos y’ = r e^{r x} e y’’ = r^2 e^{r x}. Substituindo em y’’ - a^2 y = 0, obtemos:
Como e^{r x} ≠ 0, a parte relevante é a equação característica:
Passo 3
Resolvendo r^2 - a^2 = 0 temos r^2 = a^2, logo r = a ou r = -a. Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é uma combinação linear das exponenciais correspondentes.
Passo 4
Portanto, a solução geral é dada por y(x) = C_1 e^{a x} + C_2 e^{-a x}, onde C_1 e C_2 são constantes de integração.
Resposta
y(x) = C_1 e^{a x} + C_2 e^{-a x}