Determinar as trajetórias isogonais às curvas segundo o ângulo indicado.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a família de curvas dada por , e queremos achar as curvas que cortam essa família sob ângulo constante . O conteúdo envolvido é “isogonalidade de curvas”, que usa a fórmula do ângulo entre duas retas (ou tangentes) para montar uma EDO e depois integrá-la.
Passo 2
Calculamos a derivada da família original. A partir de tiramos e diferenciamo:
Passo 3
Aplicamos a fórmula do ângulo entre tangentes: se é o coeficiente angular da família dada e o da isogonal, temos
Isso gera dois casos (sinal + e -): m2-m11+m1m2=1,m2-m11+m1m2=-1
Passo 4
Resolvendo para m2 em cada caso e lembrando que m1=y/(2x) obtemos duas EDOs
y'=1+m11-m1=2x+y2x-y,
Passo 5
Resolvendo a primeira EDO dy/dx=(2x+y)/(2x-y) via substituição homogênea y=vx: chegamos à solução implícita