Determinar as trajetórias isogonais às curvas segundo o ângulo theta indicado.
y^2=C x, theta=pi4

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a família de curvas dada por y^2 = C,x, e queremos achar as curvas que cortam essa família sob ângulo constante theta = pi/4. O conteúdo envolvido é “isogonalidade de curvas”, que usa a fórmula do ângulo entre duas retas (ou tangentes) para montar uma EDO e depois integrá-la.

Passo 2

Calculamos a derivada da família original. A partir de y^2 = Cx tiramos C = y^2/x e diferenciamo:
2y,y'=C=y^2xLongrightarrow y'=y2x

Passo 3

Aplicamos a fórmula do ângulo entre tangentes: se m1 é o coeficiente angular da família dada e m2 o da isogonal, temos
tantheta=tanpi4=1=gl|m2-m11+m1m2gr|
Isso gera dois casos (sinal + e -):
m2-m11+m1m2=1,m2-m11+m1m2=-1

Passo 4

Resolvendo para m2 em cada caso e lembrando que m1=y/(2x) obtemos duas EDOs
  1. y'=1+m11-m1=2x+y2x-y,

Passo 5

Resolvendo a primeira EDO dy/dx=(2x+y)/(2x-y) via substituição homogênea y=vx: chegamos à solução implícita
lnl(y^2 -xy +2x^2x^4r)-6raiz7arctanl(2y-xraiz7,xr)=C1

Passo 6

Resolvendo a segunda EDO dy/dx=(y-2x)/(y+2x) de modo análogo, obtemos
lnl(y^2 +xy +2x^2xr)+6raiz7arctanl(2y+xraiz7,xr)=C2

Resposta

As trajetórias isogonais (ângulo pi/4) são dadas implicitamente pelas duas famílias:
lnl(y^2 -xy +2x^2x^4r)-6raiz7arctanl(2y-xraiz7,xr)=C1,
lnl(y^2 +xy +2x^2xr)+6raiz7arctanl(2y+xraiz7,xr)=C2

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